Thuật toán dựng hình

Kỳ trước, chúng ta đã học về tam giác đồng dạng và định lý đường cao tam giác vuông. Hôm nay, tiếp tục du ngoạn trong khu vườn hình học, chúng ta sẽ đi tìm câu trả lời cho bài toán sau đây:

Cho trước một đoạn thẳng có độ dài $r$. Bằng thước và compa, chúng ta có thể dựng được những đoạn thẳng có độ dài bằng bao nhiêu?

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Kỳ trước chúng ta đã học về khái niệm phương tích. Phương tích của một điểm $P$ đến một đường tròn tâm $O$ bán kính $r$ được xác định bởi công thức sau $${\cal P}(P, (O)) = \vec{PU} \times \vec{PV} = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2,$$ ở đây, $U$ và $V$ là hai giao điểm của đường tròn $(O)$ với một đường thẳng bất kỳ đi qua $P$.

Phương tích: ${\cal P}(P, (O)) = \vec{PU} \times \vec{PV} = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2$.

Phương tích cho chúng ta biết được vị trí tương đối của điểm $P$ đối với đường tròn. Nếu phương tích là số dương thì $P$ nằm bên ngoài đường tròn, nếu phương tích là số âm thì $P$ nằm bên trong đường tròn, còn nếu phương tích bằng $0$ thì điểm $P$ nằm trên đường tròn.

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét ứng dụng của phương tích với hai công cụ chính, đó là trục đẳng phương và tâm đẳng phương. Trục đẳng phương thường được dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng, còn tâm đẳng phương thường dùng để chứng minh các đường thẳng đồng quy.

Phương tích

Hôm nay chúng ta sẽ học về khái niệm phương tích của một điểm đối với đường tròn.

Giả sử trên mặt phẳng chúng ta có một điểm $P$ và một đường tròn $(O)$. Kẻ một đường thẳng qua điểm $P$ cắt đường tròn tại hai điểm $U$ và $V$. Vậy thì giá trị của $$PU \times PV$$ sẽ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng.

Điều này có nghĩa là nếu chúng ta vẽ một đường thẳng khác qua $P$ và cắt đường tròn tại hai điểm $A$ và $B$ thì $$PA \times PB = PU \times PV.$$
Giá trị không đổi này được gọi là phương tích của điểm $P$ đối với đường tròn $(O)$.