Dãy số - Phần 3

Đây là bài thứ ba trong loạt bài về dãy số. Bài này không chứa đựng thông tin gì mới, mục đích của bài này chỉ là để trình bày các ví dụ. Nếu các bạn chưa đọc các phần trước thì bấm vào đây để đọc: Phần 1, Phần 2.

Chúng ta cùng ôn lại phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính.

Giả sử chúng ta cần tìm công thức cho dãy số $\{f_n\}$ thõa mãn phương trình sai phân $$a_k f_{n} + a_{k-1} f_{n-1} + a_{k-2} f_{n-2} + \dots + a_0 f_{n-k}=0$$ với điều kiện ban đầu là những giá trị của $f_0, f_1, \dots, f_{k-1}$, chúng ta sẽ giải bằng hai bước sau đây.

Bước 1. Giải phương trình sai phân.
Tạo phương trình đặc trưng $$a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0=0$$ và tìm nghiệm của nó. 

Giả sử phương trình đặc trưng có $k$ nghiệm $x_1, \dots, x_k$. Vậy thì với mọi hằng số $\alpha_1, \dots, \alpha_k$, dãy số $$f_n = \alpha_1 ~ x_1^n + \dots + \alpha_k ~ x_k^n$$ thõa mãn phương trình sai phân $$a_k f_{n} + a_{k-1} f_{n-1} + a_{k-2} f_{n-2} + \dots + a_0 f_{n-k}=0.$$  

Bước 2. Giải quyết các điều kiện ban đầu.
Thay các giá trị của $f_0, f_1, \dots, f_{k-1}$ vào đẳng thức $$f_n = \alpha_1 ~ x_1^n + \dots + \alpha_k ~ x_k^n$$ để lập một hệ phương trình cho $\alpha_1, \dots, \alpha_k$.

Từ đó giải hệ phương trình và tìm ra các giá trị của $\alpha_1, \dots, \alpha_k$. 

Bây giờ chúng ta lần lượt làm vài bài tập ví dụ.

Bài toán 1: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau   $$f_0 = 8, ~f_1 =2, ~f_n = 2 f_{n-1} + 8 f_{n-2}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n - 2 f_{n-1} - 8 f_{n-2}=0$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 - 2 x - 8 = 0.$$ Giải phương trình này chúng ta có hai nghiệm $x_1 = -2$ và $x_2=4$. Vậy chúng ta tìm dãy số có dạng  $$f_n = \alpha_1 ~ (-2)^n + \alpha_2 ~ 4^n.$$ Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0 = \alpha_1 + \alpha_2 = 8,$$ $$f_1 = -2 \alpha_1 + 4 \alpha_2 = 2.$$ Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha_1 = 5$ và $\alpha_2 = 3$. Từ đó chúng ta có $$f_n = 5 \times (-2)^n + 3 \times 4^n.$$



Bài toán 2: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau   $$f_0 = 5, ~f_1 =20, ~f_n = 2 f_{n-1} + 8 f_{n-2}.$$

Lời giải: Bài toán 1 và bài toán 2 giống nhau phần phương trình sai phân, chỉ khác nhau phần điều kiện ban đầu. Do đó chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = \alpha_1 ~ (-2)^n + \alpha_2 ~ 4^n.$$ Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0 = \alpha_1 + \alpha_2 = 5,$$ $$f_1 = -2 \alpha_1 + 4 \alpha_2 = 20.$$ Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha_1 = 0$ và $\alpha_2 = 5$. Từ đó chúng ta có $$f_n = 5 \times 4^n.$$

Bài toán 3: Tìm công thức tổng quát cho dãy số Fibonacci   $$f_0 = 0, ~f_1 =1, ~f_n = f_{n-1} + f_{n-2}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n - f_{n-1} - f_{n-2}=0$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 - x - 1 = 0.$$ Giải phương trình này chúng ta có hai nghiệm $$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$$ Vậy chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = \alpha_1  \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n + \alpha_2  \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n.$$ Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0 = \alpha_1 + \alpha_2 = 0,$$ $$f_1 = \alpha_1  \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \alpha_2  \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1.$$ Giải hệ phương trình này chúng ta có $$\alpha_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}, ~~ \alpha_2 = - \frac{1}{\sqrt{5}}.$$ Từ đó chúng ta có $$f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}  \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}}  \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n.$$



Bài toán 4: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau   $$f_0 = 1, ~f_1 =2, ~f_n = 2 f_{n-1} + 5 f_{n-2}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n - 2 f_{n-1} - 5 f_{n-2}=0$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 - 2 x - 5 = 0.$$ Giải phương trình này chúng ta có hai nghiệm $x = 1 \pm \sqrt{6}$. Vậy chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = \alpha_1  ~ ( 1 + \sqrt{6} )^n + \alpha_2 ~ ( 1 - \sqrt{6} )^n.$$ Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0 = \alpha_1 + \alpha_2 = 1,$$ $$f_1 = \alpha_1  ~ ( 1 + \sqrt{6} ) + \alpha_2 ~ ( 1 - \sqrt{6}  ) = 2.$$ Giải hệ phương trình này chúng ta có $$\alpha_1 =  \frac{1+\sqrt{6}}{2 \sqrt{6}}, ~~ \alpha_2 = - \frac{1-\sqrt{6}}{2 \sqrt{6}}.$$ Từ đó chúng ta có $$f_n = \frac{1}{2 \sqrt{6}} [(1+\sqrt{6})^{n+1} - (1-\sqrt{6})^{n+1}].$$




Bài toán 5: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau   $$f_0 = 4, ~f_1 =4, ~f_2 = 38, ~f_n = f_{n-1} + 14 f_{n-2} - 24 f_{n-3}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n - f_{n-1} - 14 f_{n-2} + 24 f_{n-3}=0$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^3 - x^2 - 14 x + 24 = 0.$$ Giải phương trình này chúng ta có ba nghiệm $x = -4$, $x = 2$ và $x = 3$. Vậy chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = \alpha_1  ~ ( -4 )^n + \alpha_2 ~ 2^n + \alpha_3 ~ 3^n.$$ Với $n=0,1,2$, chúng ta có $$f_0 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3= 4,$$ $$f_1 = -4 \alpha_1 + 2 \alpha_2 + 3 \alpha_3 = 4,$$ $$f_2 = 16 \alpha_1 + 4 \alpha_2 + 9 \alpha_3 = 38.$$ Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha_1 = 1$, $\alpha_2 = 1$ và $\alpha_3 = 2$. Từ đó chúng ta có $$f_n = (-4)^n + 2^n + 2 \times 3^n.$$



Bài toán 6: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau   $$f_0 = 8, ~f_1 =13, ~f_2 = 99, ~f_n = 13 f_{n-2} + 12 f_{n-3}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n - 13 f_{n-2} - 12 f_{n-3}=0$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^3 - 13 x - 12 = 0.$$ Giải phương trình này chúng ta có ba nghiệm $x = -3$, $x = -1$ và $x = 4$. Vậy chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = \alpha_1  ~ ( -3 )^n + \alpha_2 ~ (-1)^n + \alpha_3 ~ 4^n.$$ Với $n=0,1,2$, chúng ta có $$f_0 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3= 8,$$ $$f_1 = -3 \alpha_1 - \alpha_2 + 4 \alpha_3 = 13,$$ $$f_2 = 9 \alpha_1 + \alpha_2 + 16 \alpha_3 = 99$$ Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha_1 = 2$, $\alpha_2 = 1$ và $\alpha_3 = 5$. Từ đó chúng ta có $$f_n = 2 \times (-3)^n + (-1)^n + 5 \times 4^n.$$



Bài toán 7: Tìm công thức truy hồi cho dãy số $f_n = 5 \times 3^n - 4^n$.

Lời giải: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm $x = 3$ và $x = 4$. Do đó phương trình đặc trưng là  $$(x-3)(x-4) = x^2 - 7 x + 12 = 0.$$ Từ đó suy ra phương trình sai phân là $$f_n - 7 f_{n-1} + 12 f_{n-2} = 0.$$ Kết hợp với điều kiện ban đầu chúng ta có công thức truy hồi $$f_0= 4, ~f_1 = 11, ~f_n = 7 f_{n-1} - 12 f_{n-2}.$$



Bài toán 8: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau   $$f_0 = 3, ~f_1 = 2, ~f_n = 4 f_{n-1} - 4 f_{n-2}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n - 4 f_{n-1} + 4 f_{n-2}=0$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 - 4 x + 4 = 0.$$ Giải phương trình này chúng ta có nghiệm kép $x = 2$. Vậy chúng ta tìm dãy số có dạng  $$f_n = \alpha ~ 2^n.$$ Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0 = \alpha = 3,$$ $$f_1 = 2 \alpha = 2.$$ Phương trình đầu cho ta $\alpha = 3$ nhưng phương trình sau cho ta $\alpha = 1$. Vậy chứng tỏ dãy số không có dạng $f_n = \alpha ~ 2^n$.


Ở bài toán 8, vì phương trình đặc trưng có nghiệm kép nên phương pháp này không dùng được nữa. Chúng ta sẽ học về phương pháp khác để giải quyết bài toán này vào các kỳ sau.

Các bài toán ở trên là những bài toán rất cơ bản để các bạn làm quen về dãy số. Ở phần bài tập về nhà sẽ có các bài toán thú vị hơn cho các bạn.

Thôi, chúng ta tạm dừng ở đây, hẹn gặp lại các bạn.


Bài tập về nhà.

1. Cho dãy số $$f_0=2, ~f_1 = 2013, ~f_n = 2013 f_{n-1} - f_{n-2}.$$ Chứng minh rằng với mọi $n$, luôn tồn tại một số tự nhiên $m$ sao cho $$f_n f_{n+2} + 4 = 2013^2 + m^2.$$

2. Cho dãy số $$f_0=2, ~f_1 = 2013, ~f_n = 2013 f_{n-1} + f_{n-2}.$$ Tìm tất cả các số $n$ sao cho $f_n f_{n+2} + 2013^2 + 4$ là số chính phương.

3. Dãy số Pell là dãy số sau đây $$P_0=0, P_1 = 1, P_n = 2 P_{n-1} + P_{n-2}.$$
Còn dãy số Pell-đồng hành là dãy số sau đây $$H_0=1, H_1 = 1, H_n = 2 H_{n-1} + H_{n-2}.$$
Chứng minh rằng $H_n^2 - 2 P_n^2 = (-1)^n$.

4. Mở rộng các bài toán trên.