Dựng hình ngũ giác đều


Hôm nay chúng ta sẽ xem xét một cách dựng hình ngũ giác đều bằng thước và compa dựa vào công thức lượng giác sau đây $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$


Chúng ta có thể dễ dàng dựng được hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều (6 cạnh) và hình bát giác đều (8 cạnh). Vậy hình ngũ giác đều (5 cạnh), hình thất giác đều (7 cạnh) và hình cửu giác đều (9 cạnh) thì sao?

Hoá ra, dùng thước và compa, chúng ta có thể dựng được hình ngũ giác đều. Nhưng thất giác đều và cửu giác đều thì câu trả lời là không thể! Hôm nay chúng ta sẽ xem xét cách dựng ngũ giác đều, còn thất giác đều và cửu giác đều thì chúng ta để dành cho các kỳ sau.



Bây giờ chúng ta hãy cùng phân tích. Ở hình vẽ sau đây, chúng ta thấy rằng nếu chúng ta dựng được điểm $H$, thì từ điểm $H$, chúng ta có thể dựng được đỉnh $N_3$ và $N_4$, và từ đó chúng ta dễ dàng dựng được hình ngũ giác đều $N_1 N_2 N_3 N_4 N_5$.
Vì $$\angle N_3 O H = \frac{1}{2} \angle N_3 O N_4 = \frac{\pi}{5}$$ nên $$OH = r \cos{\frac{\pi}{5}}$$ trong đó $r$ là bán kính của đường tròn tâm $O$.

Vậy để dựng điểm $H$, chúng ta cần tính $\cos{\frac{\pi}{5}}$.



Tính $\cos{\frac{\pi}{5}}$

Góc $\frac{\pi}{5}$ có tính chất sau đây $$2 \frac{\pi}{5} + 3 \frac{\pi}{5} = \pi$$ cho nên, nếu chúng ta đặt $x = \frac{\pi}{5}$ thì $2 x + 3 x =\pi$, tức là $2x$ và $3x$ là hai góc bù nhau, và chúng ta suy ra $$\cos{2x} = - \cos{3x}.$$

Áp dụng công thức lượng giác cho góc gấp đôi và góc gấp ba chúng ta có $$\cos{2 x} = 2 \cos^2{x} - 1,$$ $$\cos{3 x} =  4 \cos^3{x} - 3 \cos{x},$$
Từ đây chúng ta lập được phương trình $$2 \cos^2{x} - 1=  -(4 \cos^3{x} - 3 \cos{x})$$
$$4 \cos^3{x} + 2 \cos^2{x} - 3 \cos{x} - 1=0$$

Đặt $t = \cos{x}$, chúng ta có phương trình bậc ba $$4 t^3 + 2 t^2 - 3 t - 1=0$$

Chúng ta dễ dàng thấy được $t=-1$ là một nghiệm của phương trình, nên chúng ta phân tích đa thức trên thành thừa số $$4 t^3 + 2 t^2 - 3 t - 1 = (t+1)(4t^2 - 2t-1)=0$$
Giải phương trình bậc hai $$4t^2 - 2t-1=0$$ chúng ta có hai nghiệm trái dấu $$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$$
Vậy $\cos{\frac{\pi}{5}}$ chính là nghiệm số dương, và chúng ta rút ra được công thức cần tìm $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$


Sử dụng định lý Pitago
Trở lại với hình vẽ trên $$OH = r \cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5}) r}{4}$$
Để dựng được đoạn $OH$ thì chúng ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài $(1 + \sqrt{5}) r$ rồi chia nó ra làm 4 phần bằng nhau.

Để dựng được đoạn thẳng có độ dài $(1 + \sqrt{5}) r$ thì chúng ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài $\sqrt{5} r$.

Nói đến số $\sqrt{5}$, chúng ta sực nhớ ra định lý Pitago vì $5 = 1^2 + 2^2$.
Định lý Pitago: $c^2 = a^2 + b^2$.
Định lý Pitago nói rằng trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Cho nên nếu chúng ta dựng một hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $r$ và $2r$ thì cạnh huyền sẽ bằng $\sqrt{5} r$
 $$(r)^2 + (2r)^2 = (\sqrt{5} r)^2$$

Dựng ngũ giác đều

Từ sự phân tích ở trên, chúng ta có cách dựng hình ngũ giác đều như sau:
  • Dựng trục tọa độ vuông góc $x'Ox$, $y'Oy$; 
  • Lấy $O$ làm tâm dựng đường tròn bất kỳ cắt $Ox$, $Ox'$, $Oy$ lần lượt tại các điểm $X$, $N_1$, $Y$;
  • Dựng điểm $A$ trên tia $Oy$ sao cho $YA=YO$;
  • Dựng điểm $B$ trên tia $Ox$ sao cho $XB=XA$; 
  • Dựng trung điểm $C$ của $OB$ và trung điểm $H$ của $OC$;
  • Dựng đường thẳng qua $H$ vuông góc với $Ox$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N_3$, $N_4$;
  • Lấy $N_1$ làm tâm dựng đường tròn bán kính bằng $N_3N_4$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N_2$, $N_5$;
  • Vậy $N_1N_2N_3N_4N_5$ là một ngũ giác đều.
Nếu $r$ ký hiệu bán kính của đường tròn thì ở cách dựng trên chúng ta có $$OA = 2r, ~~XA = \sqrt{5}r, ~~XB = \sqrt{5} r, ~~OB=(1+\sqrt{5})r, ~~OH=(1+\sqrt{5})r/4$$


Như vậy chúng ta đã trình bày xong cách dựng ngũ giác đều. Câu hỏi tổng quát được đặt ra là, với giá trị nào của $n$ thì bằng thước và compa chúng ta có thể dựng được một đa giác đều $n$ cạnh? Phát biểu có vẻ đơn giản vậy nhưng đây thực ra là một bài toán rất khó. Trãi qua hơn ngàn năm, người tìm được bước đột phá đầu tiên cho bài toán là nhà toán học Gauss. Chúng ta sẽ tiếp tục câu chuyện hấp dẫn này ở kỳ sau. Xin hẹn gặp lại các bạn.




Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét