Đa thức nội suy Lagrange


Hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục học về công thức nội suy cho đa thức. Kỳ trước, chúng ta đã học về công thức nội suy Newton, hôm nay chúng ta học thêm một công thức nội suy khác gọi là công thức nội suy Lagrange.

Chúng ta sẽ dùng ví dụ sau đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$

Chúng ta thấy rằng $P(x)$ là một đa thức bậc hai và chúng ta có thể tính được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$

Bài toán đa thức nội suy là bài toán ngược, tức là, cho biết $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, và $P(3) = 12$, tìm lại đa thức $P(x)$.





một bài viết trước, tôi có chia xẻ một kinh nghiệm của mình khi làm toán, đó là khi đối diện với một bài toán mà chúng ta không biết phải làm như thế nào, thì việc đầu tiên chúng ta có thể làm là xem xét các trường hợp đặc biệt của bài toán. Chúng ta thử xem với những trường hợp đặc biệt đó thì bài toán có giải quyết được không. Đôi khi bằng cách giải các trường hợp đặc biệt mà chúng ta tìm ra được những kỹ thuật có thể dùng để giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát.


Đối với một đa thức $f(x)$ bất kỳ, nếu $f(u) = 0$ thì $u$ là một nghiệm của đa thức, cho nên $f(x)$ sẽ chia hết cho $x-u$, và chúng ta có thể viết được $f(x)$ dưới dạng $$f(x) = (x-u)g(x).$$


Sử dụng tính chất này, chúng ta sẽ làm một bài toán đơn giản sau đây. Tìm đa thức $A(x)$ sao cho $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$

Rõ ràng đa thức $A(x)$ sẽ có dạng $$A(x) = a (x-2)(x-3)$$

Hai điều kiện $A(2) = 0$, $A(3) = 0$ đã thoã mãn. Vậy điều kiện $A(1) = 1$ thì sao?

Chúng ta thay $x=1$ vào thì có $$A(1) = a (1-2)(1-3) = 1$$

Vậy chúng ta có thể chọn $$a = \frac{1}{(1-2)(1-3)},$$ và như vậy chúng ta đã tìm được đa thức $$A(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}$$ thõa mãn điều kiện $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$

Tương tự, chúng ta có thể tìm được đa thức $B(x)$ thõa mãn điều kiện $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0,$$ đó chính là $$B(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}.$$

Và đa thức $C(x)$ thõa mãn điều kiện $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$ chính là $$C(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}.$$



Ở trên, chúng ta đã giải các trường hợp đặc biệt và tìm ra được các đa thức $A(x)$, $B(x)$ và $C(x)$ thõa mãn điều kiện $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0$$ $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0$$ $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$

Bây giờ, đối với bài toán tổng quát, tìm $P(x)$ sao cho $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, $P(3) = 12$ thì sao?

Các bạn đã nhìn thấy mối tương quan giữa đa thức $P(x)$ với các đa thức $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ chưa?

Rõ ràng nếu chúng ta lấy $$P(x) = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x)$$
thì $$P(1) = 2 ~A(1) + 5 ~B(1) + 12 ~C(1) = 2 + 0 + 0 = 2,$$ $$P(2) = 2 ~A(2) + 5 ~B(2) + 12 ~C(2) = 0 + 5 + 0 = 5,$$ $$P(3) = 2 ~A(3) + 5 ~B(3) + 12 ~C(3) = 0 + 0 + 12 = 12.$$

Vậy chúng ta đã tìm ra được đa thức $P(x)$, đó chính là $$P(x) = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x)$$ $$ = 2 \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} + 5 \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} + 12 \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}$$ $$ = (x-2)(x-3) - 5(x-1)(x-3)+ 6(x-1)(x-2) = 2x^2 - 3x + 3$$

Các bạn thấy chưa, chính nhờ việc giải bài toán đối với các trường hợp đơn giản là $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$, mà chúng ta đã tìm ra được lời giải cho bài toán tổng quát $P(x)$!



Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để phát biểu công thức nội suy Lagrange.

Nếu $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số thực khác nhau, và $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$, $y_{n+1}$ là $n+1$ số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $n$ thõa mãn điều kiện $$P(x_1) = y_1, ~~P(x_2) = y_2, \dots, ~~P(x_n) = y_n, ~~P(x_{n+1})=y_{n+1}.$$

Như ở trên, chúng ta thấy rằng đa thức $P(x)$ có thể được xây dựng từ các đa thức $P_1(x)$, $P_2(x)$, $\dots$, $P_n(x)$, $P_{n+1}(x)$ như sau $$P(x) = y_1 ~P_1(x) + y_2 ~P_2(x) + \dots + y_n ~P_n(x) + y_{n+1} ~P_{n+1}(x),$$ trong đó, các đa thức $P_1(x)$, $\dots$, $P_{n+1}(x)$ được xác định như sau.


$$P_1(x) = \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})}$$ $$P_2(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}$$ $$\dots$$ $$P_n(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})}$$ $$P_{n+1}(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})}$$

Các đa thức này thõa mãn điều kiện $$P_1(x_1) = 1, ~~P_1(x_2) = 0, ~~P_1(x_3) = 0, \dots, ~~P_1(x_n) = 0, ~~P_1(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_2(x_1) = 0, ~~P_2(x_2) = 1, ~~P_2(x_3) = 0, \dots, ~~P_2(x_n) = 0, ~~P_2(x_{n+1}) = 0.$$ $$\dots$$ $$P_n(x_1) = 0, ~~P_n(x_2) = 0, ~~P_n(x_3) = 0, \dots, ~~P_n(x_{n}) = 1, ~~P_n(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_{n+1}(x_1) = 0, ~~P_{n+1}(x_2) = 0, ~~P_{n+1}(x_3) = 0, \dots, ~~P_{n+1}(x_n) = 0, ~~P_{n+1}(x_{n+1}) = 1.$$



Tóm lại chúng ta có $$P(x) = y_1 \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})} + y_2 \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}$$ $$ + \dots + y_n \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})} + y_{n+1} \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})},$$

Hay viết ngắn gọn lại như sau $$P(x) = \sum_{i=1}^{n+1} y_i \prod_{j \neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
Đây chính là công thức nội suy Lagrange.




Chúng ta xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ 1. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 1, ~~P(2) = 1, ~~P(3) = 2, ~~P(4) = 3, ~~P(5) = 5$$

Chúng ta dùng công thức nội suy Lagrange  $$P(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}$$ $$+ 2 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 3 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} + 5 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}$$


Ví dụ 2. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 1, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 9, ~~P(4) = 16, ~~P(5) = 25$$

Dùng công thức nội suy Lagrange thì $$P(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + 4 \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}$$ $$+ 9 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 16 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} + 25 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} $$

Khai triển các biểu thức này ra, các bạn có thể kiểm chứng rằng $P(x) = x^2$.






Chúng ta tạm dừng ở đây, hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.





Bài tập về nhà.

1. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 2, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 6, ~~P(4) = 8, ~~P(5) = 10$$


2. Dãy số Fibonacci được xác định như sau: $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+1}=F_n+F_{n−1}$. Do đó $$F_0=0, ~F_1=1, ~F_2=1, ~F_3=2, ~F_4=3, ~F_5=5, ~F_6=8, \dots$$
Cho đa thức $P(x)$ thoã mãn điều kiện sau $$P(0) = 2011^{F_{2012}}, ~~P(1) = 2011^{F_{2011}}, ~~P(2) = 2011^{F_{2010}}, \dots $$ $$P(2010) = 2011^{F_{2}}, ~~P(2011) = 2011^{F_{1}}. $$
Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ phải có bậc lớn hơn hoặc bằng $2011$.










7 nhận xét:

  1. good, mở mang kiến thức cho mình!

    Trả lờiXóa
  2. Thú thật mình bỏ ra 2 ngày để đọc giáo trình của trường về nội suy mà không thể nào hiểu được,nhưng chỉ một bài viết này làm cho mình không muốn hiểu cũng phải hiểu.
    Cảm ơn tác giả bài viết.

    Trả lờiXóa