Cánh bướm Pascal

Hôm nay xin giới thiệu với các bạn một sự kết hợp tuyệt vời giữa hai kết quả hay trong hình học: định lý lục giác Pascalđịnh lý con bướm.




Trước hết xin nói đến định lý con bướm. Định lý con bướm phát biểu như sau:
Định lý con bướm. Giả sử $M$ là trung điểm của dây cung $XY$ trên đường tròn tâm $O$. Qua $M$ kẻ hai dây cung $AB$ và $CD$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $XY$ với hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Vậy thì $M$ là trung điểm của $PQ$.


Chúng ta thấy hình vẽ của định lý nhìn giống như hình một con bướm với hai cánh giao nhau tại điểm $M$. Đó là lý do tại sao định lý này mang tên là định lý con bướm.

Định lý con bướm có nhiều cách chứng minh. Công cụ sử dụng trong các cách chứng minh này khá là đa dạng. Ví dụ, có cách chứng minh sử dụng định lý Menelaus, có cách chứng minh sử dụng phương tích, trục đẳng phương, cách chứng minh khác lại dùng lượng giác, hay hình học tọa độ, v.v... 

Hôm nay chúng ta sẽ trình bày một cách chứng minh đơn giản cho định lý con bướm bằng cách sử dụng định lý lục giác Pascal. Định lý Pascal phát biểu như sau.

Định lý Pascal. Cho hình lục giác $123456$ nội tiếp một đường tròn. Vậy thì ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện $$\{12, 45\}, ~\{23, 56\}, ~\{34, 61\}$$ của hình lục giác luôn luôn thẳng hàng.

Nhà toán học Pascal khám phá ra định lý lục giác này khi ông chỉ mới 16 tuổi. Điểm thú vị của định lý ở chỗ là nó rất đa dạng. Sáu đỉnh của hình lục giác không nhất thiết phải nằm cùng một thứ tự nhất định trên đường tròn mà có thể nằm theo thứ tự tùy ý. Cho nên với mỗi thứ tự sắp xếp của các đỉnh, chúng ta lại có một dạng cấu hình khác nhau cho định lý Pascal. 

Định lý Pascal còn được gọi là định lý lục giác kỳ diệu. Nếu các bạn thay đường tròn bởi đường elíp, đường parabol, hay đường hypebol, và vẽ một hình lục giác nội tiếp các đường cônic này thì định lý vẫn đúng. Các bạn có thấy định lý này kỳ diệu không?!




Chứng minh định lý con bướm


Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh định lý con bướm bằng cách sử dụng định lý lục giác Pascal.


Vẽ các đường kính $AU$ và $CV$. Gọi $N$ là giao điểm của $DU$ và $BV$. Theo định lý Pascal cho hình lục giác $ABVCDU$, chúng ta có ba giao điểm $M$, $O$, $N$ thẳng hàng.

Vì $M$ là trung điểm của dây cung $XY$ nên $NOM$ vuông góc với $XY$. Vì $AU$ và $CV$ là hai đường kính nên $$\angle ADU = \angle CBV = 90^{o}.$$ Từ đó suy ra $MNDP$ và $MNBQ$ là hai tứ giác nội tiếp đường tròn. Do đó $$\angle MNP = \angle MDP = \angle MBQ = \angle MNQ .$$ Vậy hai tam giác vuông $MNP$ và $MNQ$ bằng nhau, và chúng ta suy ra điều cần chứng minh $MP=MQ$.


Như vậy, hôm nay chúng ta đã học thêm một ứng dụng của định lý lục giác Pascal. Hình vẽ dùng để chứng minh định lý con bướm kết hợp được vẽ đẹp của cả hai định lý, do đó tôi đặt tên cho hình vẽ này là cánh bướm Pascal. Hy vọng nó sẽ đem đến cho các bạn một sự thích thú.
Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.








Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét