Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy


Kỳ trước chúng ta đã học về hai công thức nội suy cho đa thức, đó là công thức nội suy Newtoncông thức nội suy Lagrange. Cả hai công thức này đều có thể dùng để chứng minh Định lý Wilson.

Ở đây, chúng ta chỉ trình bày một cách chứng minh định lý Wilson sử dụng công thức nội suy Newton. Xin dành cho các bạn phần còn lại, đó là chứng minh Định lý Wilson sử dụng công thức nội suy Lagrange.

Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này nói rằng nếu $p$ là một số nguyên tố thì số $(p−1)!+1$ sẽ chia hết cho $p$.


Ví dụ,
  • với $p=2$, $1!+1=2$ chia hết cho $2$
  • với $p=3$, $2!+1=3$ chia hết cho $3$
  • với $p=5$, $4!+1=25$ chia hết cho $5$
  • với $p=7$, $6!+1=721$ chia hết cho $7$

Có nhiều cách chứng minh Định lý Wilson. Kỳ trước, chúng ta đã trình bày một cách chứng minh sử dụng phép sai phân của đa thức $$\Delta P(x) = P(x+1) - P(x)$$


Lời giải mà chúng ta sắp trình bày đây sẽ sử dụng công thức nội suy Newton.



Nếu $P(x)$ là một đa thức bậc $n$ và $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số khác nhau thì công thức nội suy Newton là công thức sau đây $$P(x) = \alpha_1 + \alpha_2(x-x_1) + \alpha_3(x-x_1)(x-x_2) + \dots + \alpha_{n+1} (x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_n)$$


Các hệ số trong công thức nội suy Newton được xác định như sau. Muốn xác định hệ số $\alpha_1$, chúng ta thay $x=x_1$ vào công thức. Muốn xác định hệ số $\alpha_2$, chúng ta thay $x=x_2$. Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng $\alpha_{n+1}$ sẽ được xác định nếu chúng ta thay $x=x_{n+1}$.


Vậy để chứng minh định lý Wilson, chúng ta sẽ sử dụng công thức nội suy Newton cho đa thức $P(x)$ nào?

Chúng ta sẽ dùng đa thức sau đây $$P(x) = x^{p-1} -1$$

Đa thức này là từ định lý nhỏ Fermat mà ra.

Định lý nhỏ Fermat. Nếu $p$ là số nguyên tố và số $a$ không chia hết cho $p$ thì $$a^{p−1}=1 \pmod{p}.$$

Các bạn có thể đọc cách chứng minh định lý nhỏ Fermat ở đây.

Định lý nhỏ Fermat nói lên điều gì? Đó là nếu chúng ta chọn đa thức $P(x) = x^{p-1} -1$ như trên thì định lý nhỏ Fermat cho ta biết rằng các giá trị $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $\dots$, $P(p-1)$ đều chia hết cho $p$.


Đa thức $P(x) = x^{p-1} -1$ có bậc là $p-1$ và chúng ta sẽ sử dụng $x_1=1$, $x_2=2$, $\dots$, $x_p =p$ cho công thức nội suy Newton như sau $$P(x) = x^{p-1} -1 = \alpha_1 + \alpha_2(x-1) + \alpha_3(x-1)(x-2) + \dots + \alpha_{p} (x-1)(x-2) \dots (x-(p-1))$$

Bây giờ chúng ta lần lượt thay $x=1,2,3, \dots$ để xác định các hệ số $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots$.

  • Đầu tiên, với $x=1$, chúng ta có $\alpha_1 = 0$, do đó $$P(x) = x^{p-1} -1 = \alpha_2(x-1) + \alpha_3(x-1)(x-2) + \dots + \alpha_{p} (x-1)(x-2) \dots (x-(p-1))$$

  • Với $x=2$, chúng ta có $$P(2) = \alpha_2 . $$ Vì $P(2)$ chia hết cho $p$ theo định lý nhỏ Fermat, cho nên $$\alpha_2 = p ~\beta_2 .$$

  • Với $x=3$, chúng ta có $$P(3) = 2 ~\alpha_2 + 2 ~\alpha_3,$$ do đó $$2 ~\alpha_3 = P(3) - 2 ~\alpha_2 = p ~z_3 - 2 ~p ~\beta_2 = p ~\beta_3,$$ cho nên $$\alpha_3 = p~ \frac{\beta_3}{\gamma_3},$$ trong đó $(\gamma_3, p) = 1$.

  • Với $x=4$, chúng ta có $$P(4) = 3 ~\alpha_2 + 6 ~\alpha_3 + 3! ~\alpha_4$$ do đó $$3! ~\alpha_4 = P(4) - 3 ~\alpha_2 - 6 ~\alpha_3 = p ~z_4 - 3 ~p ~\beta_2 - 6 ~p~ \frac{\beta_3}{\gamma_3} = p~ \frac{\beta_4}{\gamma_3},$$ cho nên $$\alpha_4 = p~ \frac{\beta_4}{\gamma_4},$$ trong đó $(\gamma_4, p) = 1$.


  • Tương tự, chúng ta sẽ thấy rằng với mọi $i = 2, 3, 4, 5, \dots, p-1$ thì $$\alpha_i = p~ \frac{\beta_i}{\gamma_i},$$ trong đó $(\gamma_i, p) = 1$.

Hệ số cuối cùng $\alpha_p$ thì sao? Nếu chúng ta so sánh hệ số của bậc $p-1$ trong công thức nội suy Newton $$P(x) = x^{p-1} -1 = \alpha_2(x-1) + \alpha_3(x-1)(x-2) + \dots + \alpha_{p} (x-1)(x-2) \dots (x-(p-1))$$ thì chúng ta sẽ thấy rằng ở vế bên trái, hệ số của $x^{p-1}$ chính là $1$, còn ở vế bên phải hệ số của $x^{p-1}$ chính là $\alpha_{p}$. Do đó $$\alpha_{p} = 1 .$$


Tóm lại, chúng ta đã xác định toàn bộ các hệ số $\alpha_i$, và công thức nội suy Newton trở thành $$P(x) = x^{p-1} -1 = p~ \frac{\beta_2}{\gamma_2} (x-1) + p~ \frac{\beta_3}{\gamma_3} (x-1)(x-2) + \dots + (x-1)(x-2) \dots (x-(p-1))$$


Bây giờ nếu thay $x=0$ vào, chúng ta sẽ có $$-1 = p~ \frac{\beta_2}{\gamma_2} ~(-1) + p~ \frac{\beta_3}{\gamma_3} ~(-1)^2 2! + \dots + p~ \frac{\beta_{p-1}}{\gamma_{p-1}} ~(-1)^{p-2} (p-2)! + (-1)^{p-1} (p-1)!$$

Do đó $$(-1)^{p-1} (p-1)! + 1 = p~ \frac{b}{\gamma_2 ~\gamma_3 \dots ~\gamma_{p-1}}$$

Ở đẳng thức trên, vế bên trái là một số nguyên, do đó $pb$ phải chia hết cho $\gamma_2 ~\gamma_3 \dots ~\gamma_{p-1}$. Nhưng các số $\gamma_2$, $\gamma_3$, $\dots$, $\gamma_{p-1}$ không chia hết cho $p$ cho nên $b$ phải chia hết cho $\gamma_2 ~\gamma_3 \dots ~\gamma_{p-1}$. Tức là $$\frac{b}{\gamma_2 ~\gamma_3 \dots ~\gamma_{p-1}}$$ là một số nguyên.

Chúng ta suy ra $$(-1)^{p-1} (p-1)! + 1 = 0 \pmod{p}$$

Từ đó chúng ta có định lý Wilson $$(p-1)! + 1 = 0 \pmod{p}$$


Hôm nay chúng ta đã chứng minh định lý Wilson bằng cách sử dụng định lý nhỏ Fermat và công thức nội suy Newton. Chúng ta tạm dừng ở đây, và xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.



Bài tập về nhà. Chứng minh định lý Wilson bằng cách sử dụng công thức nội suy Lagrange.




Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét