Một vài bài toán về số nguyên tố


Kỳ trước, chúng ta đã học về số nguyên tố, và Định lý Euclid cho chúng ta biết rằng tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Kỳ này, chúng ta tiếp tục xem xét về số nguyên tố. Các nhà toán học nổi tiếng như Fermat, Euler, Gauss rất thích thú tìm hiểu về các số nguyên tố. Có nhiều bài toán về số nguyên tố, phát biểu thì rất đơn giản, nhưng đến nay vẫn chưa ai tìm ra được lời giải.



Giả thuyết Goldbach


Đây có lẽ là bài toán nổi tiếng nhất về số nguyên tố. Giả thuyết Goldbach dự đoán rằng mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết được thành tổng của hai số nguyên tố. Ví dụ như

  • $4 = 2 + 2$
  • $6 = 3 + 3$
  • $8 = 3 + 5$
  • $10 = 3 + 7 = 5 + 5$
  • $12 = 5 + 7$
  • $14 = 3 + 11 = 7 + 7$
  • ...

Nhà toán học Goldbach đã nêu lên giả thuyết này trong một lá thơ gởi cho nhà toán học Euler vào năm 1742. Hiện tại với công cụ máy vi tính hiện đại, các nhà toán học đã kiểm tra thấy giả thuyết Goldbach đúng đến số hàng tỉ tỉ, tuy nhiên lời giải tổng quát cho mọi số chẵn thì đến nay vẫn chưa ai chứng minh được. Có một số tổ chức đã đưa ra giải thưởng lên đến cả triệu đô la cho người nào giải được bài toán này, nhưng chưa có ai là người may mắn thắng được những giải thưởng này.

Bài toán chưa có lời giải.
Có đúng hay không rằng mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết được thành tổng của hai số nguyên tố.




Định lý Chebyshev

Định lý Chebyshev là một kết quả rất đẹp, đó là với mọi $n > 1$, luôn tồn tại một số nguyên tố nằm giữa hai số $n$ và $2n$. Ví dụ như,

  • ở giữa 2 và 4 có số nguyên tố 3, 
  • ở giữa 3 và 6 có số nguyên tố 5, 
  • ở giữa 4 và 8 có số nguyên tố 5 và 7, v.v...


Định lý Chebyshev. Với mọi số tự nhiên $n > 1$, luôn tồn tại một số nguyên tố $p$ thoã mãn $n < p < 2n$.

Bertrand phát biểu định lý này vào năm 1845 nhưng ông không chứng minh được, sau đó định lý này được Chebyshev chứng minh vào năm 1850, vì thế định lý này còn được gọi là định đề Bertrand. Nhà toán học Erdos, vào năm ông 19 tuổi, đã chứng minh được định lý này bằng một phương pháp sơ cấp. Chúng ta sẽ đọc cách chứng minh sơ cấp của Erdos vào một kỳ sau.

Định lý Chebyshev cho ta hệ quả sau. Giả sử như $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$. Theo định lý Chebyshev thì sẽ tồn tại số nguyên tố $p$ thoã mãn $p_i < p < 2 p_i$. Như vậy thì $p_i < p_{i+1} < 2p_i$, và chúng ta có

Định lý. Nếu $p_i$ và $p_{i+1}$ là hai số nguyên tố liên tiếp nhau thì $$\frac{p_{i+1}}{p_i}  <  2.$$



Chúng ta thấy rằng với mọi cặp số nguyên tố đứng cạnh nhau $(p_i, p_{i+1})$ thì tỉ lệ $\frac{p_{i+1}}{p_i}$ bị chặn trên bởi $2$. Câu hỏi tương tự được đặt ra là liệu $p_{i+1} - p_i$ có bị chặn trên hay không. Hay nói cách khác, có tồn tại hay không một hằng số $c$ để cho mọi cặp số nguyên tố đứng cạnh nhau $(p_i, p_{i+1})$ thì chúng ta có $p_{i+1} - p_i < c$? Câu trả lời là không tồn tại.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng $p_{i+1} - p_i$ có thể lớn đến vô cùng. Để chứng minh, trước hết xin giới thiệu với các bạn một ký hiệu $n!$, đọc là $n$ giai thừa, công thức của nó là như sau $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n.$$

Rõ ràng rằng số $100! + 2$ chia hết cho 2, số $100! + 3$ chia hết cho 3, số $100! + 4$ chia hết cho 4, v.v... Tóm lại, tất cả các số từ $100! + 2$ cho đến $100! + 100$ đều là hợp số. Vậy nếu $p_i$ là số nguyên tố đứng ngay đàng trước số $100! + 2$, thì số nguyên tố tiếp theo $p_{i+1}$ phải ở đàng sau số $100! + 100$. Tức là chúng ta có $$p_i < 100! + 2 < \dots < 100! + 100 < p_{i+1}.$$

Do đó chúng ta đã tìm ra hai số nguyên tố đứng cạnh nhau mà $p_{i+1} - p_i \geq 100$. Rõ ràng chúng ta có thể thay con số $100$ bằng con số 1 tỉ, hay bất kỳ một con số nào khác, thì chúng ta cũng chứng minh được điều tương tự. Có nghĩa là $p_{i+1} - p_i$ có thể lớn đến vô cùng.



Cặp số nguyên tố sinh đôi


Nếu viết các số nguyên tố ra thành một dãy số $$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$$
chúng ta sẽ thấy có khá nhiều các cặp số nguyên tố đứng cạnh nhau là hai số lẻ liên tiếp, ví dụ như 3 và 5, 5 và 7, 11 và 13, 17 và 19. Các cặp số này gọi là các cặp số nguyên tố sinh đôi. Đến nay các nhà toán học vẫn không biết có vô hạn hay hữu hạn các cặp số nguyên tố sinh đôi.

Bài toán chưa có lời giải.
Tồn tại vô hạn hay không các cặp số nguyên tố $(p_i, p_{i+1})$ sao cho $p_{i+1} - p_i = 2$.

Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau chúng ta sẽ tiếp tục câu chuyện về số nguyên tố.




Bài tập về nhà.

1. Với mọi $n > 0$ chứng minh rằng nếu $2^n + 1$ là số nguyên tố thì $n$ phải có dạng $n = 2^m$. Tức là nếu $2^n + 1$ là số nguyên tố thì nó phải có dạng $2^{2^m} + 1$.

2. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức $P(x)$ sao cho $P(1) = 2$, $P(2) = 3$, $P(3) = 5$, $P(4) = 7$, $P(5) = 11$,..., $P(100)=$ số nguyên tố thứ $100$.




2 nhận xét:

  1. Cho minh hoi cac so sau co phai la cac cap so nguyen to ko vay ?
    10097 va 10099
    427282507889 va 427282507891
    27006229567018093409 va 27006229567018093411
    Neu chung la cac cap so nguyen to thi minh co the tim ra nhieu cap nhu the nua

    Trả lờiXóa
  2. ko bạn - mình kiểm tra thử rồi - mấy số trên có vài số ko là SNT


    Trả lờiXóa