Modulo cho số hữu tỷ


Mấy tháng trước, chúng ta đã đọc một loạt bài về modulo. Đó là modulo cho số nguyên. Xin nhắc lại định nghĩa như sau.

Định nghĩa. Cho $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Chúng ta nói rằng $a$ và $b$ bằng nhau modulo $n$, và viết $$a = b \pmod{n}$$ khi và chỉ khi $a-b$ là một bội số của $n$.

Ví dụ như $$8 = 0 \pmod{4},$$ $$9 = 1 \pmod{4},$$ $$-5 = -1 = 3 = 7 \pmod{4}, \dots $$

Hôm nay, xin giới thiệu với các bạn một khái niệm mới về modulo cho số hữu tỷ. Trước khi đi vào chi tiết của định nghĩa, chúng ta sẽ liệt kê một vài ví dụ cho các bạn thấy ngay được modulo số hữu tỷ là như thế nào.

Ví dụ về modulo cho số hữu tỷ: $$\frac{8}{5} =_{Q} ~0 \pmod{4}, $$ $$ -\frac{12}{55} =_{Q} ~0 \pmod{4},$$ $$\frac{29}{15} =_{Q} ~\frac{25}{15} = \frac{5}{3} \pmod{4}$$


Để phân biệt về modulo cho số nguyên, chúng ta sẽ dùng ký hiệu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ để chỉ modulo cho số hữu tỷ. Lý do mà chúng ta dùng ký hiệu $=_{Q}$ này là vì tập hợp các số hữu tỷ thường được ký hiệu bởi chữ $Q$.

Xin lưu ý một điều quan trọng là ở ký hiệu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ thì $\alpha$ và $\beta$ là số hữu tỷ, còn số $n$ là số nguyên.



Chúng ta sẽ dùng ký hiệu $(x,y)$ để chỉ ước số chung lớn nhất của hai số nguyên $x$ và $y$. Do đó nếu hai số nguyên $x$ và $y$ nguyên tố cùng nhau thì chúng ta có $(x,y)=1$. Bây giờ chúng ta sẵn sàng đi vào định nghĩa của modulo số hữu tỷ.

Định nghĩa. Giả sử như $\alpha = \frac{x}{y}$ là một số hữu tỷ viết theo dạng tối giản, tức là $(x,y)=1$, chúng ta nói rằng $$\alpha =_{Q} ~0 \pmod{n}$$ khi và chỉ khi $x = 0 \pmod{n}$ và $(y,n)=1$.

Theo định nghĩa này thì một số hữu tỷ $\alpha = \frac{x}{y}$ sẽ bằng $0$ modulo $n$ nếu tử số $x$ chia hết cho $n$, còn mẫu số $y$ thì nguyên tố cùng nhau với $n$. Như vậy thì $$\frac{9}{4} =_Q ~0 \pmod{9},$$ $$\frac{18}{5} =_Q ~0 \pmod{9},$$ $$-\frac{36}{25} =_Q ~0 \pmod{9},$$ $$18 = \frac{18}{1} =_Q ~0 \pmod{9},$$


Xin các bạn cẩn thận nhé, để xem một số hữu tỷ $\alpha = \frac{x}{y}$ bằng $0$ modulo $n$ hay không chúng ta phải viết nó về dạng tối giản. Cho nên mặc dù $18$ chia hết cho $9$, nhưng số hữu tỷ $$\frac{18}{15} \neq_{Q} ~0 \pmod{9}$$ bởi vì khi viết về dạng tối giản thì $$\frac{18}{15} = \frac{6}{5}$$ và $$\frac{6}{5} \neq_{Q} ~0 \pmod{9}.$$


Có một định nghĩa khác cũng tương tự như trên. Đó là

Định nghĩa. Giả sử $\alpha = \frac{x}{y}$ là một số hữu tỷ và $n$ là một số nguyên. Chúng ta nói rằng $$\alpha =_{Q} ~0 \pmod{n}$$ khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên $k$ nguyên tố cùng nhau với $n$ sao cho $k \alpha$ là một số nguyên và $$k \alpha = 0 \pmod{n} .$$


Chúng ta đã biết một số hữu tỷ $\alpha$ bằng $0$ modulo $n$ có nghĩa là gì rồi. Bây giờ chúng ta phát biểu định nghĩa modulo cho hai số hữu tỷ $\alpha$ và $\beta$.

Định nghĩa. Giả sử $\alpha$, $\beta$ là hai số hữu tỷ và $n$ là một số nguyên. Chúng ta nói rằng $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ khi và chỉ khi $$\alpha - \beta =_{Q} 0 \pmod{n}.$$

Ví dụ:
  • Chúng ta có $$\frac{29}{15} - \frac{1}{3} = \frac{8}{5}$$ do đó $$\frac{29}{15} =_{Q} ~\frac{1}{3} \pmod{4}$$
  • Chúng ta có $$\frac{25}{18} - 1 = \frac{7}{18}$$ do đó $$\frac{25}{18} =_{Q} ~1 \pmod{7}$$

Nhớ lại lúc chúng ta học về modulo cho số nguyên, chúng ta có "Công thức cộng", "Công thức nhân", "Công thức luỹ thừa". Modulo số hữu tỷ cũng có các công thức tương tự như vậy. Nhưng đó sẽ là chủ đề cho kỳ sau. Còn kỳ này, chúng ta tạm dừng ở đây.





Bài tập về nhà.

1. Giả sử $\alpha$, $\beta$ là hai số hữu tỷ và $n$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên $k$ nguyên tố cùng nhau với $n$ sao cho $k(\alpha - \beta)$ là một số nguyên và $$k(\alpha - \beta) = 0 \pmod{n}.$$

2. Kiểm chứng rằng $$1 =_{Q} ~1 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{2} =_{Q} ~4 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{3} =_{Q} ~5 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{4} =_{Q} ~2 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{5} =_{Q} ~3 \pmod{7},$$ $$\frac{1}{6} =_{Q} ~6 \pmod{7},$$ từ đó suy ra $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} =_{Q} ~1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =_{Q} ~0 \pmod{7},$$

Kiểm chứng lại $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{147}{60}$$ có tử số là $147$ chia hết cho $7$.

Phát biểu bài toán tổng quát.




Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét