Hôm nay xin giới thiệu với các bạn một lời giải độc đáo của nhà toán học Euler cho hằng đẳng thức sau đây: $$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}$$
Euler tìm ra cách chứng minh này vào năm 1734 khi ông 28 tuổi.
Chúng ta sẽ trình bày phương pháp của Euler theo từng bước.
Bước 1. Dùng khai triển Taylor cho hàm số $f(x) = \sin(x)$
Chúng ta có
$$f(x) = \sin(x) ~\Rightarrow ~ f(0) = 0$$ $$f'(x) = \cos(x) ~\Rightarrow ~ f'(0) = 1$$ $$f''(x) = -\sin(x) ~\Rightarrow ~ f''(0) = 0$$ $$f^{(3)}(x) = -\cos(x) ~\Rightarrow ~ f^{(3)}(0) = -1$$ $$f^{(4)}(x) = \sin(x) ~\Rightarrow ~ f^{(4)}(0) = 0$$ $$f^{(5)}(x) = \cos(x) ~\Rightarrow ~ f^{(5)}(0) = 1$$ $$f^{(6)}(x) = -\sin(x) ~\Rightarrow ~ f^{(6)}(0) = 0$$ $$f^{(7)}(x) = -\cos(x) ~\Rightarrow ~ f^{(7)}(0) = -1$$
Khai triển chuỗi Taylor của hàm số $f(x) = \sin(x)$ là như sau:
$$f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \dots$$
$$\sin(x) = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 + \dots$$
$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$$
Bước 2. Tìm nghiệm của hàm số $f(x) = \sin(x)$
Phương trình lượng giác $f(x) = \sin(x) = 0$ có nghiệm $$x=0, ~x = \pm \pi, ~x = \pm 2 \pi, ~x = \pm 3 \pi, \dots$$
Do đó
$$\sin(x) = C x (x - \pi)(x + \pi)(x - 2\pi)(x + 2 \pi)(x - 3\pi)(x + 3\pi) \dots$$
$$\sin(x) = C x (x^2 - \pi^2)(x^2 - 2^2 \pi^2)(x^2 - 3^2 \pi^2)(x^2 - 4^2 \pi^2) \dots$$
Bước 3. Kết hợp bước 1 và bước 2
Kết hợp bước 1 và bước 2, chúng ta có
$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$$ $$= C x (x^2 - \pi^2)(x^2 - 2^2 \pi^2)(x^2 - 3^2 \pi^2)(x^2 - 4^2 \pi^2) \dots$$
Do đó
$$1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \dots$$ $$= C (x^2 - \pi^2)(x^2 - 2^2 \pi^2)(x^2 - 3^2 \pi^2)(x^2 - 4^2 \pi^2) \dots$$
Thay $x^2$ bằng $x$, chúng ta có
$$1 - \frac{x}{3!} + \frac{x^2}{5!} - \frac{x^3}{7!} + \dots$$ $$= C (x - \pi^2)(x - 2^2 \pi^2)(x - 3^2 \pi^2)(x - 4^2 \pi^2) \dots$$
Bước 4. Chuẩn hoá để triệt tiêu hằng số $C$
Nếu chúng ta có một phương trình dạng
$$f(x) = C g_1(x) g_2(x) g_3(x) \dots$$
thì để chuẩn hoá, chúng ta làm như sau
$$\frac{f(x)}{f(0)} = \frac{g_1(x)}{g_1(0)} \frac{g_2(x)}{g_2(0)} \frac{g_3(x)}{g_3(0)} \dots$$
Vậy, với phương trình ở bước 3
$$1 - \frac{x}{3!} + \frac{x^2}{5!} - \frac{x^3}{7!} + \dots$$ $$= C (x - \pi^2)(x - 2^2 \pi^2)(x - 3^2 \pi^2)(x - 4^2 \pi^2) \dots$$
làm chuẩn hoá, chúng ta có
$$1 - \frac{x}{3!} + \frac{x^2}{5!} - \frac{x^3}{7!} + \dots$$ $$= \frac{(x - \pi^2)}{-\pi^2} \frac{(x - 2^2 \pi^2)}{-2^2 \pi^2} \frac{(x - 3^2 \pi^2)}{-3^2 \pi^2} \frac{(x - 4^2 \pi^2)}{-4^2 \pi^2} \dots$$ $$= (1 - \frac{x}{\pi^2}) (1 - \frac{x}{2^2 \pi^2}) (1 - \frac{x}{3^2 \pi^2}) (1 - \frac{x}{4^2 \pi^2})\dots$$
Bước 5. Dùng công thức Vieta
So sánh hệ số của đơn thức $x$ ở hai vế phương trình
$$1 - \frac{x}{3!} + \frac{x^2}{5!} - \frac{x^3}{7!} + \dots$$ $$= (1 - \frac{x}{\pi^2}) (1 - \frac{x}{2^2 \pi^2}) (1 - \frac{x}{3^2 \pi^2}) (1 - \frac{x}{4^2 \pi^2})\dots$$
chúng ta có $$- \frac{x}{3!} = - \frac{x}{\pi^2} - \frac{x}{2^2 \pi^2} - \frac{x}{3^2 \pi^2} - \frac{x}{4^2 \pi^2} - \dots $$
Vậy cho nên $$\frac{1}{3!} = \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{2^2 \pi^2} + \frac{1}{3^2 \pi^2} + \frac{1}{4^2 \pi^2} + \dots $$
Từ đây chúng ta rút ra được điều cần chứng minh
$$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots =\frac{\pi^2}{3!}= \frac{\pi^2}{6}$$
Chúng ta tạm dừng ở đây. Ở phần bài tập về nhà, các bạn có thể dùng phương pháp của Euler cho hàm số $f(x) = \cos(x)$ để thiết lập một vài hằng đẳng thức thú vị. Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.
Bài tập về nhà.
1. Chứng minh rằng công thức khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $f(x) = \cos(x)$ là như sau $$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$$
2. Nghiệm của phương trình lượng giác $\cos(x) = 0$ là $$x = \pm \frac{\pi}{2}, ~x = \pm \frac{3 \pi}{2}, ~x = \pm \frac{5 \pi}{2}, \dots$$
từ đó suy ra
$$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = (1 - \frac{4 x^2}{\pi^2})(1 - \frac{4 x^2}{3^2 \pi^2})(1 - \frac{4 x^2}{5^2 \pi^2}) \dots$$
3. Chứng minh rằng
$$\frac{1 }{1^2} + \frac{1 }{3^2} + \frac{1 }{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{8} $$
4. Chứng minh rằng
$$\frac{1 }{1^2} + \frac{1 }{3^2} + \frac{1 }{5^2} + \dots = \frac{3}{4} \left( \frac{1 }{1^2} + \frac{1 }{2^2} + \frac{1 }{3^2} + \frac{1 }{4^2} + \dots \right)$$
từ đó suy ra
$$ \frac{1 }{1^2} + \frac{1 }{2^2} + \frac{1 }{3^2} + \frac{1 }{4^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}$$
5. Dùng google.com để tìm hiểu về bài toán Basel và hàm số zeta của Riemann.