Dựng hình bằng thước và compa

Hôm nay chúng ta sẽ mở đầu một chuỗi bài về toán dựng hình. Có những bài toán dựng hình trông đơn giản nhưng gần hai ngàn năm không ai giải được. Ví dụ như bài toán dựng đa giác đều hay bài toán chia ba một góc. Mãi đến thế kỷ 18-19 hai bài toán này mới được giải quyết hoàn toàn. Các nhà toán học phải sử dụng những công cụ rất hiện đại của đại số mới giải được nó.

Trong bài mở đầu này, chúng ta sẽ học về các bước dựng hình cơ bản bằng thước và compa. Khi giải các bài toán dựng hình, chúng ta thừa nhận và dùng các bước dựng hình cơ bản này mà không cần phải giải thích cụ thể.

Các phép dựng hình cơ bản


Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng

Cho trước đoạn thẳng $AB$. Để dựng đường trung trực của $AB$, chúng ta làm như sau:

• Lấy $A$ và $B$ làm tâm, dựng hai đường tròn có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm.

• Nối hai giao điểm của hai đường tròn này lại chúng ta sẽ có đường trung trực của $AB$.

Dựng trung điểm của một đoạn thẳng

Cho trước đoạn thẳng $AB$. Để dựng trung điểm của $AB$, chúng ta làm như sau:

• Dựng đường trung trực của $AB$.

• Đường trung trực cắt $AB$ tại điểm $M$ là trung điểm của $AB$.

Qua một điểm, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng

Cho trước đường thẳng $\ell$ và một điểm $A$. Để dựng đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $\ell$, chúng ta làm như sau:

• Lấy $A$ làm tâm dựng một đường tròn sao cho đường tròn cắt đường thẳng $\ell$ tại hai điểm $B$ và $C$.

• Dựng đường trung trực của $BC$, đây chính là đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $\ell$.

Qua một điểm, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng

Cho trước đường thẳng $\ell$ và một điểm $A$. Để dựng đường thẳng đi qua $A$ song song với $\ell$, chúng ta làm như sau:

• Dựng đường thẳng $t$ đi qua $A$ vuông góc với $\ell$.

• Dựng đường thẳng $u$ đi qua $A$ vuông góc với $t$, đường thẳng $u$ chính là đường thẳng đi qua $A$ song song với $\ell$.

Dựng đường phân giác của một góc

Cho trước góc $\angle xOy$, để dựng đường phân giác của góc này, chúng ta làm như sau:

• Lấy $O$ làm tâm dựng một đường tròn cắt $Ox$ và $Oy$ tại $A$ và $B$.

• Dựng đường trung trực của $AB$, đây chính là đường phân giác của góc $\angle xOy$.

Dựng một góc bằng một góc cho trước

Cho trước góc $\angle xOy$ và tia $A \ell$, để dựng đường thẳng qua $A$ hợp với $A \ell$ một góc bằng góc $\angle xOy$, chúng ta làm như sau:

• Lấy trên tia $A \ell$ một điểm $B$.

• Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $AB$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $D$ và $C$.

• Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính bằng $AB$, và đường tròn tâm $B$ bán kính bằng $CD$, hai đường tròn này cắt nhau tại $E$ và $F$.

• Hai góc $\angle EA \ell$ và $\angle FA \ell$ chính là bằng $\angle xOy$.

Dựng tiếp tuyến đến đường tròn

Cho trước một đường tròn tâm $O$ và một điểm $A$ nằm ở bên ngoài đường tròn, để dựng đường thẳng qua $A$ tiếp tuyến với đường tròn $(O)$, chúng ta làm như sau:

• Dựng trung điểm $B$ của $OA$.

• Lấy $B$ làm tâm vẽ đường tròn bán kính bằng $AB$, đường tròn này cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $C$ và $D$.

• Hai đường thẳng $AC$ và $AD$ chính là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Một vài ví dụ dựng hình

Ví dụ 1. Cho trước đoạn thẳng $AB$. Bằng thước và compa, chia đều đoạn thẳng này thành năm phần bằng nhau.

Cách dựng:

• Qua $A$ vẽ một tia bất kỳ và dùng compa dựng các điểm $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$ trên tia này thoã mãn $AC_1 = C_1C_2=C_2C_3=C_3C_4=C_4C_5$.
• Nối $BC_5$.
• Dựng các đường thẳng lần lượt qua $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ song song với $BC_5$ và cắt $AB$ tại các điểm $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$.
• Chúng ta có $AD_1 = D_1D_2=D_2D_3=D_3D_4=D_4B$.

Ví dụ 2. Cho trước góc $xOy$ và một điểm $M$. Bằng thước và compa, dựng điểm $A$ trên $Ox$ và điểm $B$ trên $Oy$ sao cho $M$ là trung điểm của $AB$.

Cách dựng:

• Vẽ đường thẳng $OM$ và dùng compa dựng điểm $N$ nằm trên đường thẳng này sao cho $OM=MN$.
• Qua $N$ dựng đường thẳng song song với $Oy$ cắt $Ox$ tại điểm $A$.
• Qua $N$ dựng đường thẳng song song với $Ox$ cắt $Oy$ tại điểm $B$.
• Tứ giác $OANB$ là hình bình hành nên trung điểm $M$ của đường chéo $ON$ cũng chính là trung điểm của đường chéo $AB$.

Ví dụ 3. Cho trước tam giác $ABC$. Bằng thước và compa, dựng một hình vuông $PQRS$ sao cho đỉnh $Q$ nằm trên cạnh $AB$, đỉnh $R$ nằm trên cạnh $AC$, và hai đỉnh $P$, $S$ nằm trên cạnh $BC$.

Cách dựng:

• Lấy điểm $U$ trên cạnh $AB$.
• Vẽ đường vuông góc $UV$ xuống $BC$.
• Dùng compa dựng điểm $F$ nằm trên tia $VC$ sao cho $VF=VU$.
• Dựng hình vuông $UVFE$.
• Đường thẳng $BE$ cắt $AC$ tại $R$.
• Vẽ đường vuông góc $RS$ xuống $BC$.
• Dùng compa dựng điểm $P$ nằm trên tia $SB$ sao cho $SP=SR$.
• Dựng hình vuông $PQRS$.

Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau chúng ta tiếp tục học về dựng hình. Hẹn gặp lại các bạn.



Bài tập về nhà.

1. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách dựng tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều (6 cạnh) và hình bát giác đều (8 cạnh).


2. Cho trước hai đường tròn, bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách dựng các đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn này.


3. Cho trước hai đoạn thẳng có độ dài là $a$ và $b$, bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách dựng một đoạn thẳng có độ dài bằng $\sqrt{ab}$.


4. Chứng minh rằng $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$$
từ đó bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách dựng một ngũ giác đều.


5. Cho một hình tứ giác $ABCD$ và bốn điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ theo thứ tự này nằm trên cạnh $AB$. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách xác định bốn điểm $N_1$, $N_2$, $N_3$, $N_4$ nằm trên cạnh $CD$ sao cho các đoạn thẳng $M_1 N_1$, $M_2 N_2$, $M_3 N_3$ và $M_4 N_4$ chia hình tứ giác thành 5 phần có diện tích bằng nhau.

6. Cho trước hai điểm $A$ và $B$, chỉ bằng compa (không dùng thước), hãy chỉ ra cách dựng các điểm $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$ trên đoạn thẳng $AB$ để chúng chia đều đoạn thẳng này thành năm phần bằng nhau.