Lục giác kỳ diệu

Chúng ta đã biết đến nhà toán học Pascal qua tam giác số nổi tiếng - gọi là tam giác số Pascal - mà các hệ số của nó dùng để khai triển nhị thức Newton. Hôm nay chúng ta sẽ giới thiệu một định lý hình học mang tên ông, đó là Định lý Lục Giác Kỳ Diệu. Định lý lục giác kỳ diệu của Pascal nói rằng nếu chúng ta vẽ một hình lục giác nội tiếp một đường tròn thì ba cặp cạnh đối diện của hình lục giác cắt nhau tại ba điểm thẳng hàng.


Nhà toán học Pascal khám phá ra định lý lục giác này khi ông chỉ mới 16 tuổi. Ông xuất bản công trình của mình với nhan đề "Tiểu luận về các đường cônic". Dưới đây là hình chụp của một bản sao lưu trữ tại Thư viện Quốc gia Pháp.



Nằm ở phía trên cùng của tờ "tiểu luận", các bạn có thể nhận ra hình vẽ của định lý lục giác. Hình lục giác đó là $PQVONK$. Cặp cạnh đối diện thứ nhất, $PK$ và $VO$, cắt nhau tại điểm $M$. Cặp cạnh đối diện thứ hai, $KN$ và $QV$, cắt nhau tại $S$. Do đó, cặp cạnh đối diện thứ ba, $PQ$ và $NO$, phải cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng $MS$. Hay nói cách khác là ba đường thẳng $MS$, $NO$ và $PQ$ phải đồng quy.

Một phát biểu khác của định lý Pascal: ba đường thẳng $MS$, $NO$, $PQ$ đồng quy


Sự đa dạng của định lý Pascal

Định lý Pascal có rất nhiều dạng cấu hình. Sáu đỉnh của hình lục giác không nhất thiết phải nằm cùng một thứ tự nhất định trên đường tròn mà có thể nằm theo thứ tự tùy ý. Vì vậy, với mỗi thứ tự sắp xếp của các đỉnh, chúng ta lại có một dạng cấu hình khác nhau cho định lý Pascal. Nhờ sự đa dạng này mà Pascal đã tìm ra được hàng trăm hệ quả cho định lý này.

Bây giờ, xin mời các bạn vẽ thật nhiều hình vẽ khác nhau cho định lý Pascal. Các bạn lấy sáu điểm bất kỳ trên đường tròn: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$. Sau đó lấy giao điểm của ba cặp đường thẳng $\{12, 45\}$, $\{23, 56\}$, $\{34, 61\}$, rồi nối các giao điểm này lại thành một đường thẳng. Sau khi vẽ xong, các bạn hãy chọn cho mình một hình vẽ mà mình yêu thích nhất.

Dưới đây là một ví dụ:

Hình vẽ sau đây là hình vẽ mà tôi yêu thích nhất.

Định lý Pascal cho các đường cônic

Ở trên, chúng ta phát biểu Định lý Pascal cho đường tròn. Nhưng định lý Pascal thú vị ở chỗ là nó đúng cho tất cả các đường cônic. Có nghĩa là nếu các bạn thay đường tròn bởi đường elíp, đường parabol, hay đường hypebol, thì định lý vẫn đúng. Ba giao điểm vẫn thẳng hàng! Các bạn có thấy kỳ diệu không?!


Dưới đây là ví dụ cho đường elíp:

Đây là đường parabol:

Còn đây là đường hypebol:

Khi đường cônic bị thoái hóa thành hai đường thẳng như hình dưới đây thì định lý Pascal trở thành Định lý Pappus. Đây chính là logo của blog Vườn Toán.



Chúng ta tạm dừng ở đây, hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.




Bài tập về nhà.

1. Tìm các cách vẽ khác nhau cho định lý Pascal.

2. Chứng minh định lý Pascal.







Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét