Bài toán con bướm

Kỳ trước chúng ta đã trình bày một cách chứng minh đơn giản cho bài toán con bướm dựa trên định lý lục giác Pascal. Hôm nay chúng ta sẽ liệt kê một vài cách chứng minh khác dưới dạng bài tập để bạn đọc có thể rèn luyện kỹ năng giải toán.

Trước hết, chúng ta phát biểu bài toán con bướm

Bài toán con bướm. Giả sử $M$ là trung điểm của dây cung $XY$ trên đường tròn tâm $O$. Qua $M$ kẻ hai dây cung $AB$ và $CD$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $XY$ với hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $PQ$.

Chúng ta thấy hình vẽ trên giống như hình một con bướm với hai cánh giao nhau tại điểm $M$. Đó là lý do tại sao bài toán này mang tên là bài toán con bướm.

Bài toán con bướm có rất nhiều cách chứng minh. Các cách chứng minh sau đây lấy từ hai bài báo:

• Leon Bankoff, The metamorphosis of the butterfly problem, Mathematics Magazine, vol. 60, no. 4, Oct 1987, p. 195-210.

• Greg Markowsky, Pascal's hexagon theorem implies the butterfly theorem, Mathematics Magazine, vol. 84, no. 1, Feb 2011, p. 56-62.

Bài toán 1. (Greg Markowsky, đăng trên Mathematics Magazine, 2011)

Giả sử $IJ$ là một đường kính của đường tròn $(O)$. $M$ là một điểm trên $IJ$. Hai điểm $U$ và $V$ trên đường tròn gọi là hai điểm phản chiếu qua $M$ nếu chúng ở về cùng một phía của $IJ$ và $\angle IMU = \angle JMV$. Chứng minh bổ đề sau.

Bổ đề. Nếu $U$ và $V$ phản chiếu qua $M$ và $Z$ là giao điểm của $IV$ và $JU$ thì $ZM$ vuông góc với $IJ$. 

(Gợi ý. Giả sử đường thẳng $UM$, $VM$ cắt đường tròn tại $V'$, $U'$. Giả sử $IV'$ cắt $JU'$ tại $Z'$. Chứng minh $U'$, $V'$, $Z'$ đối xứng với $U$, $V$, $Z$ qua $IJ$. Dùng định lý lục giác Pascal để chứng minh $Z$, $M$, $Z'$ thẳng hàng.)

Vẽ đường kính $IJ$ đi qua $M$. Gọi $E$ và $F$ là hai điểm đối xứng của $A$ và $D$ qua đường thẳng $IJ$. Gọi $K$ là giao điểm của $IF$ và $JC$, $L$ là giao điểm của $IB$ và $JE$, $Q'$ là giao điểm của $BC$ và $EF$.

1. Chứng minh rằng $C$ và $F$ phản chiếu qua $M$; $B$ và $E$ phản chiếu qua $M$. 
2. Dùng bổ đề trên để chứng minh rằng $M$, $K$, $L$ thẳng hàng và nằm trên đường thẳng $XY$. 
3. Dùng định lý lục giác Pascal để chứng minh rằng $K$, $L$, $Q'$ thẳng hàng và nằm trên đường thẳng $XY$.
4. Chứng minh rằng $Q = Q'$, từ đó suy ra $MP = MQ$.

Bài toán 2. (đăng trên School Science and Mathematics, 1919)

Gọi $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$.

1. Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $NPQ$ với các bộ điểm thẳng hàng $\{C, M, D\}$, $\{A, M, B\}$, và sử dụng phương tích, chứng minh rằng $$\frac{MQ^2}{MP^2} = \frac{QB \times QC}{PA \times PD}.$$
2. Sử dụng phương tích, chứng minh rằng $$\frac{MQ^2}{MP^2} = \frac{MY^2 - MQ^2}{MX^2 - MP^2},$$ từ đó suy ra $MP = MQ$.

Bài toán 3. (Richard Taylor, đăng trên The Gentleman's Diary, 1815)

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác $APM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $T$. Đường thẳng $TP$, $TM$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $E$, $F$.

1. Chứng minh rằng ba đường thẳng $EB$, $XY$, $DF$ song song.
2. Chứng minh rằng hai tam giác $MTD$ và $MCF$ bằng nhau.
3. Chứng minh rằng hai tam giác $MTP$ và $MCQ$ bằng nhau, từ đó suy ra $MP = MQ$.

Bài toán 4. (W.G. Horner, đăng trên The Gentleman's Diary, 1815)

Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$.

1. Chứng minh rằng hai tam giác $MBC$ và $MDA$ đồng dạng.
2. Chứng minh rằng $\angle MJQ = \angle MIP$.
3. Chứng minh rằng hai tam giác $MOP$ và $MOQ$ bằng nhau, từ đó suy ra $MP = MQ$.

Bài toán 5. (Leon Bankoff, đăng trên School Science and Mathematics, 1955)

Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $XY$ cắt đường tròn tại $L$.

1. Chứng minh rằng tam giác $AML$ là tam giác cân.
2. Chứng minh rằng tứ giác $MLCQ$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
3. Chứng minh rằng hai tam giác $MAP$ và $MLQ$ bằng nhau, từ đó suy ra $MP = MQ$.

Chúng ta tạm dừng ở đây. Bạn đọc nào tò mò muốn biết thêm các cách chứng minh khác xin tìm đọc bài báo của Leon Bankoff mà chúng ta đã trích dẫn ở trên. Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.