Trước hết, chúng ta phát biểu bài toán con bướm
Bài toán con bướm. Giả sử $M$ là trung điểm của dây cung $XY$ trên đường tròn tâm $O$. Qua $M$ kẻ hai dây cung $AB$ và $CD$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $XY$ với hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $PQ$.
Chúng ta thấy hình vẽ trên giống như hình một con bướm với hai cánh giao nhau tại điểm $M$. Đó là lý do tại sao bài toán này mang tên là bài toán con bướm.
- Leon Bankoff, The metamorphosis of the butterfly problem, Mathematics Magazine, vol. 60, no. 4, Oct 1987, p. 195-210.
- Greg Markowsky, Pascal's hexagon theorem implies the butterfly theorem, Mathematics Magazine, vol. 84, no. 1, Feb 2011, p. 56-62.
Bài toán 1. (Greg Markowsky, đăng trên Mathematics Magazine, 2011)
Bổ đề. Nếu $U$ và $V$ phản chiếu qua $M$ và $Z$ là giao điểm của $IV$ và $JU$ thì $ZM$ vuông góc với $IJ$.
(Gợi ý. Giả sử đường thẳng $UM$, $VM$ cắt đường tròn tại $V'$, $U'$. Giả sử $IV'$ cắt $JU'$ tại $Z'$. Chứng minh $U'$, $V'$, $Z'$ đối xứng với $U$, $V$, $Z$ qua $IJ$. Dùng định lý lục giác Pascal để chứng minh $Z$, $M$, $Z'$ thẳng hàng.)
- Chứng minh rằng $C$ và $F$ phản chiếu qua $M$; $B$ và $E$ phản chiếu qua $M$.
- Dùng bổ đề trên để chứng minh rằng $M$, $K$, $L$ thẳng hàng và nằm trên đường thẳng $XY$.
- Dùng định lý lục giác Pascal để chứng minh rằng $K$, $L$, $Q'$ thẳng hàng và nằm trên đường thẳng $XY$.
- Chứng minh rằng $Q = Q'$, từ đó suy ra $MP = MQ$.
Bài toán 2. (đăng trên School Science and Mathematics, 1919)
- Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $NPQ$ với các bộ điểm thẳng hàng $\{C, M, D\}$, $\{A, M, B\}$, và sử dụng phương tích, chứng minh rằng $$\frac{MQ^2}{MP^2} = \frac{QB \times QC}{PA \times PD}.$$
- Sử dụng phương tích, chứng minh rằng $$\frac{MQ^2}{MP^2} = \frac{MY^2 - MQ^2}{MX^2 - MP^2},$$ từ đó suy ra $MP = MQ$.
Bài toán 3. (Richard Taylor, đăng trên The Gentleman's Diary, 1815)
- Chứng minh rằng ba đường thẳng $EB$, $XY$, $DF$ song song.
- Chứng minh rằng hai tam giác $MTD$ và $MCF$ bằng nhau.
- Chứng minh rằng hai tam giác $MTP$ và $MCQ$ bằng nhau, từ đó suy ra $MP = MQ$.
Bài toán 4. (W.G. Horner, đăng trên The Gentleman's Diary, 1815)
- Chứng minh rằng hai tam giác $MBC$ và $MDA$ đồng dạng.
- Chứng minh rằng $\angle MJQ = \angle MIP$.
- Chứng minh rằng hai tam giác $MOP$ và $MOQ$ bằng nhau, từ đó suy ra $MP = MQ$.
Bài toán 5. (Leon Bankoff, đăng trên School Science and Mathematics, 1955)
- Chứng minh rằng tam giác $AML$ là tam giác cân.
- Chứng minh rằng tứ giác $MLCQ$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
- Chứng minh rằng hai tam giác $MAP$ và $MLQ$ bằng nhau, từ đó suy ra $MP = MQ$.
Chúng ta tạm dừng ở đây. Bạn đọc nào tò mò muốn biết thêm các cách chứng minh khác xin tìm đọc bài báo của Leon Bankoff mà chúng ta đã trích dẫn ở trên. Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.