Dựng hình chỉ bằng compa


Thông thường ở các bài toán hình học dựng hình, chúng ta được phép dùng thước kẻ và compa. Hôm nay chúng ta xem xét một loại bài toán hơi lạ một chút xíu, đó là chỉ được phép dùng compa để dựng hình.

Trong toán học có một định lý đặc biệt gọi là Định lý Mohr-Mascheroni. Định lý này nói rằng bất kỳ điểm nào dựng được bằng thước kẻ và compa thì cũng có thể dựng được chỉ bằng compa. Có nghĩa là thước kẻ trong dựng hình là không cần thiết.

Định lý này được biết đến nhờ nhà toán học người Ý, Lorenzo Mascheroni. Trong cuốn sách "Hình học compa" (Geometria del Compasso) xuất bản năm 1797, ông đã chứng minh định lý này. Và vì vậy trong một thời gian dài, định lý này được gọi là Định lý Mascheroni.

Nhưng hoá ra Mascheroni không phải là người đầu tiên tìm ra định lý. Hơn cả trăm năm về trước, có một nhà toán học người Đan Mạch tên là Georg Mohr đã tìm ra định lý này. Ông Mohr viết định lý này trong cuốn sách "Hình học Đan Mạch" (Euclides Danicus) xuất bản năm 1672.

Cuốn sách của nhà toán học Mohr bị rơi vào quên lãng cho tới khi nó được tìm thấy trong một hiệu sách ở thủ đô Đan Mạch vào năm 1928. Và từ đó người ta gọi định lý là Định lý Mohr-Mascheroni để ghi nhận sự đóng góp của nhà toán học Mohr. 

Định lý Mohr-Mascheroni. Bất kỳ điểm nào dựng được bằng thước kẻ và compa thì cũng có thể dựng được chỉ bằng cách dùng compa.

Có hai bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa đơn giản nhất, đó là
  • nhân gấp bội lần một đoạn thẳng cho trước, và
  • chia đều một đoạn thẳng cho trước. 

cho trước AB, bằng thước kẻ và compa, chúng ta dễ dàng dựng được đoạn thẳng AC dài gấp ba lần AB

cho trước AB, bằng thước kẻ và compa, chúng ta dễ dàng chia đều AB ra thành năm đoạn thẳng bằng nhau



Như vậy theo Định lý Mohr-Mascheroni, chỉ cần bằng compa, chúng ta có thể nhân gấp bội lần một đoạn thẳng, và chúng ta có thể chia đều một đoạn thẳng cho trước. Hôm nay chúng ta sẽ giải bài toán đầu tiên, còn bài toán thứ hai chúng ta để dành cho kỳ sau.



Nhân gấp bội lần một đoạn thẳng bằng compa

Bài toán. Cho trước hai điểm A và B, chỉ dùng compa, dựng điểm C trên đường thẳng AB sao cho AC = 3 AB.

Nếu chúng ta dùng compa để vẽ đường tròn có tâm là A và đi qua B, và một đường tròn khác có tâm là B đi qua A, thì hai đường tròn sẽ cắt nhau tại hai điểm, và chúng ta đã tạo ra hai tam giác đều có cạnh là AB. Nếu chúng ta tiếp tục dựng hình như vậy thì chúng ta sẽ dựng được một lưới điểm tam giác đều. Vậy bài toán nhân gấp bội lần một đoạn thẳng bằng compa dễ dàng được giải quyết.



Chúng ta tạm dừng ở đây. Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.



Bài tập về nhà.

1. Cho trước hai điểm A và B, chỉ dùng compa, dựng trung điểm của AB.

2. Cho trước hai điểm A và B, chỉ dùng compa, dựng hai điểm $M_1$ và $M_2$ để chia ba đoạn thẳng AB, tức là $A M_1 = M_1 M_2 = M_2 B$.

3. Cho trước ba điểm A, B, và C, chỉ dùng compa, dựng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.




Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét