Bài toán chia hình tứ giác

Hôm nay xin giới thiệu với các bạn một bài toán dựng hình khá là thú vị như sau:

Bài toán dựng hình. Cho một hình tứ giác $ABCD$ và bốn điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ theo thứ tự này nằm trên cạnh $AB$. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách xác định bốn điểm $N_1$, $N_2$, $N_3$, $N_4$ nằm trên cạnh $CD$ sao cho các đoạn thẳng $M_1 N_1$, $M_2 N_2$, $M_3 N_3$ và $M_4 N_4$ chia hình tứ giác thành 5 hình tứ giác con có diện tích bằng nhau.

Trước khi đọc tiếp, xin mời các bạn thử bỏ ra một vài phút suy nghĩ xem chúng ta nên tiếp cận bài toán này như thế nào nhé.

Trong toán học, khi chúng ta cần giải một bài toán mà chúng ta chưa biết phải bắt đầu từ đâu thì việc tốt nhất là chúng ta xem xét một vài trường hợp đặc biệt, hoặc chúng ta thử đơn giản hoá bài toán. Đôi khi nhờ xem xét những bài toán đơn giản, chúng ta lại tìm ra được những kỹ thuật có thể dùng để giải quyết bài toán phức tạp ban đầu.

Chúng ta thử đơn giản hoá bài toán này xem sao. Thay vì tìm cách chia hình tứ giác ra thành 5 phần bằng nhau, chúng ta thử xem có cách nào chia hình tứ giác ra thành 2 phần bằng nhau hay không. Chúng ta xem xét bài toán sau đây.

Bài toán chia đôi tứ giác

Bài toán chia đôi tứ giác. Cho một hình tứ giác $ABCD$ và một điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách xác định điểm $N$ trên cạnh $CD$ sao cho đoạn thẳng $M N$ chia hình tứ giác thành 2 hình tứ giác con có diện tích bằng nhau.

Ở bài toán này, chúng ta cần xác định điểm $N$ để cho hai hình tứ giác con $AMND$ và $BMNC$ có diện tích bằng nhau $$s(AMND) = s(BMNC) .$$ Hai hình tứ giác con này có một cạnh chung là $MN$, hai cạnh $AM$ và $BM$ nằm trên cùng một đường thẳng $AB$, còn hai cạnh $DN$ và $CN$ thì nằm trên cùng một đường thẳng $CD$. Nếu chúng ta biến hai hình tứ giác con thành hai tam giác thì có lẽ sẽ dễ dàng để so sánh hơn.

Chúng ta sẽ làm như sau:

• Từ $A$ kẻ một đường thẳng song song với $MD$, đường thẳng này cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $P$.
• Từ $B$ kẻ một đường thẳng song song với $MC$, đường thẳng này cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $Q$.

Bởi vì $AP$ song song với $MD$, chúng ta có $s(AMD) = s(PMD)$, và vì vậy  $$s(AMND) = s(MND) + s(AMD) = s(MND) + s(PMD) = s(MNP).$$

Tương tự, bởi vì $BQ$ song song với $MC$, chúng ta có $s(BMC) = s(QMC)$, và vì vậy $$s(BMNC) =  s(MNC) + s(BMC) = s(MNC) + s(QMC) = s(MNQ).$$

Vậy chúng ta đã biến đổi hai hình tứ giác con $AMND$ và $BMNC$ thành hai tam giác có cùng diện tích $MNP$ và $MNQ$. Để hai hình tứ giác con $AMND$ và $BMNC$ có diện tích bằng nhau thì $$s(MNP) = s(MNQ),$$ tức là $N$ phải là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$.

Vậy chúng ta đã giải quyết được bài toán chia đôi tứ giác. Cách xác định điểm $N$ là như sau:

• Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $MD$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $P$.
• Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $MC$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $Q$.
• Điểm $N$ cần tìm chính là trung điểm của $PQ$.

Giải quyết xong bài toán chia đôi tứ giác, chúng ta xem xét bài toán chia ba tứ giác.


Bài toán chia ba tứ giác

Bài toán chia ba tứ giác. Cho một hình tứ giác $ABCD$ và hai điểm $M_1$, $M_2$ nằm trên cạnh $AB$. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách xác định hai điểm $N_1$ và $N_2$ trên cạnh $CD$ sao cho các đoạn thẳng $M_1 N_1$ và $M_2 N_2$ chia hình tứ giác thành 3 hình tứ giác con có diện tích bằng nhau.

Sau khi giải xong bài toán chia đôi tứ giác, chúng ta thấy bài toán chia ba tứ giác trở nên đơn giản. Chúng ta sử dụng kỹ thuật như trên để biến hình tứ giác con thành hình tam giác. Chúng ta làm như sau.

• Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $M_1 D$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $P$.
• Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $M_1 C$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $Q$.

Vậy $$s(A M_1 N_1 D) = s(M_1 N_1 P), ~~~s(B M_1 N_1 C) = s(M_1 N_1 Q).$$ Chúng ta có $$s(M_1 N_1 P) = s(A M_1 N_1 D) = \frac{1}{2} s(B M_1 N_1 C) = \frac{1}{2} s(M_1 N_1 Q),$$ do đó $$N_1 P = \frac{1}{2} N_1 Q.$$

Vậy chúng ta xác định được điểm $N_1$. Muốn xác định điểm $N_1$, chúng ta chỉ cần chia đoạn thẳng $PQ$ ra làm ba phần bằng nhau.

Có nhiều cách để chia ba đoạn thẳng, sau đây là một ví dụ:

• Qua $P$ vẽ một đường thẳng bất kỳ rồi lần lượt lấy các điểm $U$, $V$, $W$ sao cho $PU = UV = VW$.
• Nối $Q$ với $W$.
• Qua $U$ vẽ đường thẳng song song với $QW$ cắt đoạn $PQ$ tại $N_1$.

Một khi chúng ta xác định được điểm $N_1$ thì điểm $N_2$ cũng hoàn toàn được xác định. Bởi vì muốn tìm điểm $N_2$, chúng ta chỉ cần giải bài toán chia đôi tứ giác $M_1 B C N_1$!

Đến đây, có lẽ các bạn đã phát hiện ra cách giải bài toán tổng quát rồi phải không?! 

Bài toán tổng quát 

Bài toán chia hình tứ giác tổng quát. Cho một hình tứ giác $ABCD$ và $n$ điểm $M_1, \dots, M_n$ theo thứ tự này nằm trên cạnh $AB$. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách xác định $n$ điểm $N_1, \dots, N_n$ nằm trên cạnh $CD$ sao cho các đoạn thẳng $M_1 N_1, \dots, M_n N_n$ chia hình tứ giác thành $n+1$ hình tứ giác con có diện tích bằng nhau.

Đầu tiên, chúng ta cần xác định điểm $N_1$ để $$s(A M_1 N_1 D) = \frac{1}{n} s(B M_1 N_1 C),$$ sau khi chúng ta có điểm $N_1$, thì bài toán "chia hình tứ giác $ABCD$ thành $n+1$ phần bằng nhau" trở thành bài toán "chia hình tứ giác $M_1 BC N_1$ thành $n$ phần bằng nhau"!

Chúng ta tạm dừng ở đây. Hôm nay, chúng ta đã học về một bài toán dựng hình khá là thú vị. Chúng ta rút ra một kinh nghiệm rằng, muốn giải một bài toán phức tạp thì việc đầu tiên chúng ta có thể làm là đơn giản hoá bài toán. Đôi khi giải quyết được các trường hợp đơn giản sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn bài toán và gợi ý cho chúng ta cách giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát.

Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.

Bài tập về nhà.

1. Cho một hình tứ giác $ABCD$ và một điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$. Giả sử $r$ là một số hữu tỷ nằm trên đoạn $(0,1)$. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách xác định điểm $N$ trên cạnh $CD$ sao cho $$s(AMND)= r ~s(ABCD).$$

Chứng minh rằng điểm $N$ tồn tại khi và chỉ khi $$s(AMD) \leq r ~s(ABCD) \leq s(AMCD).$$

2. Sử dụng bài toán 1 để giải bài toán chia hình tứ giác tổng quát bằng cách quan sát $$s(A M_1 N_1 D) = \frac{1}{n+1} s(ABCD), ~~s(A M_2 N_2 D)= \frac{2}{n+1} s(ABCD), \dots$$

Tìm điều kiện cần và đủ để các điểm $N_1, \dots, N_n$ tồn tại.