Dựng đa giác đều 15 cạnh

Hôm nay để thoã mãn sự tò mò của các bạn, chúng ta sẽ học về cách dựng hình đa giác đều 15 cạnh. Chúng ta sẽ thấy rằng có một sự liên hệ thú vị giữa bài toán dựng hình này với câu đố mẹo về đo lường mà chúng ta đã học ở bài trước.

Câu đố mẹo về đo lường

Trước hết chúng ta xem lại câu đố mẹo về đo lường mà chúng ta đã học ở bài trước.

Câu đố đo lường. Dùng hai bình thể tích 3 lít và 5 lít, hãy tìm cách đong ra được đúng 1 lít nước.

Với những bài toán đong đếm này, thoạt nhìn qua, chúng ta thấy có vẻ như có vô vàn cách để đong qua đong lại giữa hai bình nước. Nhưng nếu chúng ta xem xét kỹ một chút thì sẽ thấy rằng chúng ta có thể sắp xếp các bước đo lường này theo 8 thể loại như hình sau:

Với 8 thể loại đo lường như trên, chúng ta thấy rằng lượng nước $(a,b)$ trong hai bình sẽ khởi đầu với giá trị $(0~ lít, 0~ lít)$ và sau mỗi bước đong qua đong lại thì giá trị của $(a,b)$ sẽ thay đổi thành một trong 8 giá trị sau $$(0,b), ~~(a,0), ~~(3,b), ~~(a,5),$$ $$(0,a+b), ~~(a+b,0), ~~(a+b-5,5), ~~(3,a+b-3).$$

Từ đó chúng ta dễ dàng chứng minh được kết quả

Lượng nước (theo đơn vị lít) trong hai bình luôn luôn là một số có dạng $3x+5y$ trong đó $x$ và $y$ là hai số nguyên.

Có nghĩa là nếu chúng ta muốn đong ra được chính xác 1 lít nước thì chúng ta phải biểu diễn con số $1$ (lít) thành số có dạng $3x+5y$. Vậy câu đố này đưa về việc giải phương trình nghiệm nguyên   $$3x + 5y = 1.$$

Phương trình nghiệm nguyên này có vô số nghiệm. Chúng ta dễ dàng thấy được hai nghiệm của phương trình là $(x=2,y=-1)$ và $(x=-3,y=2)$. Hai nghiệm này tương ứng với việc biểu diễn số $1$ thành dạng $${\bf 3} \times 2 - {\bf 5} \times 1 = 1$$ $${\bf 5} \times 2 - {\bf 3} \times 3 = 1.$$

Từ đó chúng ta có hai đáp án cho câu đố như sau:

Đáp án 1: ${\bf 3} \times 2 - {\bf 5} \times 1 = 1$: Đong đầy bình 3 lít hai lần và đổ qua làm đầy bình 5 lít một lần, ta được 1 lít.

Đáp án 2: ${\bf 5} \times 2 - {\bf 3} \times 3 = 1$: Đong đầy bình 5 lít hai lần và đổ qua làm đầy bình 3 lít ba lần, ta được 1 lít.

Chúng ta vừa thấy rằng câu đố về đo lường có liên quan mật thiết đến việc giải phương trình nghiệm nguyên $$3x+5y=1.$$ Một chút xíu nữa, chúng ta sẽ thấy chính phương trình nghiệm nguyên này sẽ giúp chúng ta dựng được hình đa giác đều 15 cạnh!

Bài toán dựng hình đa giác đều

Chúng ta sẽ gọi một đa giác có $n$ cạnh là một $n$-giác. Ví dụ $3$-giác là hình tam giác, còn $5$-giác là hình ngũ giác. Đa giác đều là một đa giác có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Bài toán dựng hình đa giác đều bằng thước và compa là một bài toán cổ điển. Nó được đặt ra từ thời xa xưa. Mặc dù phát biểu đơn giản nhưng đây là một bài toán cực kỳ khó. Đã từ lâu, chúng ta biết được cách dựng hình tam giác đều và ngũ giác đều. Chẳng hạn từ thời Hy Lạp cổ đại, trong bộ sách "Cơ sở Toán học" nổi tiếng, Euclid đã trình bày một cách dựng hình ngũ giác đều. Vậy nhưng qua gần hai ngàn năm, không ai tìm ra được cách dựng 7-giác đều, 9-giác đều, 11-giác đều hay 13-giác đều, mọi nỗ lực dường như rơi vào bế tắc. Mãi cho tới năm 1796, nhà toán học Gauss, lúc đó mới 19 tuổi, tìm được bước đột phá đầu tiên cho bài toán. Gauss đã thành công tìm ra được cách dựng hình 17-giác đều. Bài toán được giải quyết hoàn toàn vào năm 1837 với định lý tuyệt vời sau đây

Định lý Gauss-Wantzel. Với một số lẻ $n$, đa giác đều $n$ cạnh có thể dựng được bằng thước và compa khi và chỉ khi $n=p_1 \times \dots \times p_t$, trong đó $p_1, \dots, p_t$ là các số nguyên tố Fermat phân biệt.

Vậy số nguyên tố Fermat trong Định lý Gauss là số nguyên tố gì? Chúng ta có định nghĩa sau đây.

Số nguyên tố Fermat. Một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Fermat nếu nó có dạng $$F_k = 2^{2^k}+1.$$

Theo định nghĩa trên thì:

• $k=0$, $F_0 = 2^{2^0}+1 = 2^1 + 1 = 3$ là số nguyên tố nên nó là số nguyên tố Fermat,
• $k=1$, $F_1 = 2^{2^1}+1 = 2^2 + 1 = 5$ là số nguyên tố nên nó là số nguyên tố Fermat,
• $k=2$, $F_2 = 2^{2^2}+1 = 2^4 + 1 = 17$ là số nguyên tố nên nó là số nguyên tố Fermat,
• $k=3$, $F_3 = 2^{2^3}+1 = 2^8 + 1 = 257$ là số nguyên tố nên nó là số nguyên tố Fermat,
• $k=4$, $F_4 = 2^{2^4}+1 = 2^{16} + 1 = 65537$ là số nguyên tố nên nó là số nguyên tố Fermat,
• $k=5$, $F_5 = 2^{2^5}+1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417$ là một hợp số.

Bởi vì $3$ và $5$ là hai số nguyên tố Fermat, nên theo định lý Gauss-Wantzel, tam giác đều và ngũ giác đều dựng được. Ngoài ra vì $15 = 3 \times 5$ nên chúng ta cũng dựng được 15-giác đều. Tuy nhiên có một điểm lưu ý trong định lý, đó là các số nguyên tố Fermat trong tích $n=p_1 \times \dots \times p_t$ phải khác nhau. Cho nên mặc dù $9 = 3 \times 3$ và $25 = 5 \times 5$, nhưng $9$-giác đều và $25$-giác đều thì không dựng được bằng thước và compa.

Dựng hình đa giác đều 15 cạnh

Như đã nói ở trên, vì $15$ là tích của hai số nguyên tố Fermat phân biệt (3 và 5), nên theo định lý Gauss-Wantzel, 15-giác đều có thể dựng được bằng thước và compa. Nhưng chúng ta dựng nó bằng cách nào?

Chúng ta hãy nhìn hình vẽ của một đa giác đều 15 cạnh. Chúng ta thấy rằng các đỉnh của đa giác tạo thành rất nhiều các tam giác đều và các ngũ giác đều.

Hình vẽ trên gợi cho chúng ta một ý tưởng. Đó là, chúng ta hãy thử dựng tam giác đều và ngũ giác đều trước xem sao.

Chúng ta hãy vẽ một hình tròn, rồi chọn một đỉnh $P_0$ bất kỳ trên hình tròn đó. Sau đó chúng ta dựng một hình tam giác đều $A_0 A_1 A_2$ và một hình ngũ giác đều $B_0 B_1 B_2 B_3 B_4$ với đỉnh $A_0 = B_0=P_0$. Như vậy, mặc dù chúng ta chưa hoàn toàn dựng xong 15-giác đều, nhưng chúng ta đã dựng được "một phần" của nó!

Nhìn kỹ hình vẽ trên. Liệu chúng ta dựng tiếp được các đỉnh khác của hình 15-giác đều hay không? Aaaa! ĐƯỢC RỒI!!!

Rõ ràng từ hình vẽ thì chúng ta đã xác định được hai cạnh của hình 15-giác đều, đó là cạnh $A_1 B_2$ và $B_3 A_2$. Nhưng một khi chúng ta dựng được một cạnh thì tất cả các cạnh khác đều dựng được. Ví dụ, chúng ta có thể dùng compa vẽ đường tròn tâm $P_0$ và bán kính bằng $A_1 B_2$ thì đường tròn này sẽ cắt đường tròn lớn tại $P_1$. Rồi từ $P_1$ chúng ta dựng tiếp $P_2$, v.v..., tiếp tục như vậy thì chúng ta sẽ dựng được hết các đỉnh còn lại.


Bây giờ, chúng ta cùng nhau viết lại cách dựng hình 15-giác đều

• Dựng một đường tròn và chọn một điểm $P_0$ trên đó.
• Dựng tam giác đều $P_0 P_5 P_{10}$ và ngũ giác đều $P_0 P_3 P_6 P_9 P_{12}$.
• Nối hai cạnh $P_5 P_6$ và $P_9 P_{10}$.
• Dựng đường tròn tâm $P_0$ bán kính bằng $P_5 P_6$, đường tròn này cắt đường tròn ban đầu tại $P_1$ và $P_{14}$.
• Dựng đường tròn tâm $P_3$ bán kính bằng $P_5 P_6$, đường tròn này cắt đường tròn ban đầu tại $P_2$ và $P_{4}$.
• Các đỉnh còn lại $P_7$, $P_8$, $P_{11}$, $P_{13}$ được dựng tương tự.

Vậy là chúng ta đã biết được cách dựng hình đa giác đều 15 cạnh. Bây giờ chúng ta hãy cùng nhau suy ngẫm để tìm ra lý do vì sao chúng ta có được cách dựng này. Rõ ràng điểm mấu chốt trong cách dựng trên là việc chúng ta phát hiện ra đỉnh $A_1$ nằm cạnh đỉnh $B_2$, và đỉnh $B_3$ nằm cạnh đỉnh $A_2$. Vì vậy mà chúng ta đã dựng được hai cạnh $A_1 B_2$ và $B_3 A_2$ cho hình đa giác đều. Tính chất này có thể được giải thích dựa vào phương trình nghiệm nguyên $3x+5y=1$ như sau.

Chúng ta hãy chia hình tròn thành 15 đơn vị, thì mỗi cạnh của hình tam giác đều sẽ chiếm 5 đơn vị, còn mỗi cạnh của hình ngũ giác đều ứng với 3 đơn vị. Nếu chúng ta dùng $P_0$ làm điểm mốc để đo khoảng cách các đỉnh thì đỉnh $A_1$ ở tại vị trí 5 đơn vị và đỉnh $A_2$ ở tại vị trí 10 đơn vị. Còn các đỉnh của ngũ giác đều thì, đỉnh $B_1$ ở vị trí 3, đỉnh $B_2$ vị trí 6, đỉnh $B_3$ vị trí 9, và đỉnh $B_4$ vị trí 12.

Một cách tổng quát thì đỉnh $A_i$ ở vị trí $5i$ còn đỉnh $B_j$ ở vị trí $3j$. Vậy khoảng cách giữa $A_i$ và $B_j$ trên đường tròn sẽ là $$A_i B_j = |5i - 3j|.$$

$A_i$ ở vị trí $5i$, $B_j$ ở vị trí $3j$, nên khoảng cách giữa $A_i$ và $B_j$ là $A_i B_j = |5i - 3j|$

Theo công thức tính khoảng cách này thì đỉnh $A_i$ nằm cạnh đỉnh $B_j$ khi và chỉ khi khoảng cách giữa $A_i$ và $B_j$ là 1 đơn vị, tức là khi $$5i-3j = \pm 1$$

Một nghiệm của phương trình này là $i=2$, $j=3$, theo đó $${\bf 5} \times 2 - {\bf 3} \times 3 = 1$$ và đây chính là lý do vì sao $A_2$ nằm cạnh $B_3$ để tạo ra một cạnh $B_3 A_2$ cho hình 15-giác.

Một nghiệm khác của phương trình là $i=1$, $j=2$, $${\bf 5} \times 1 - {\bf 3} \times 2 = -1$$ nghiệm này là lý do để $A_1$ nằm cạnh $B_2$.

Như vậy hai cạnh $B_3 A_2$ và $A_1 B_2$ của hình 15-giác đều được dựng nhờ vào hai nghiệm nguyên của phương trình $3x+5y=1$. Thật là thú vị phải không các bạn!

Từ đây chúng ta dễ dàng mở rộng bài toán như sau

Vẽ một đường tròn và chọn một điểm $P_0$ trên nó. Vẽ một $p$-giác đều $A_0 A_1 \dots A_{p-1}$ và một $q$-giác đều $B_0 B_1 \dots B_{q-1}$ với đỉnh $A_0 = B_0 = P_0$. Nếu $p$ và $q$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì chắc chắn sẽ tồn tại ít nhất hai đỉnh $A_x$ và $B_y$ sao cho $A_x B_y$ tạo thành một cạnh của hình $pq$-giác đều. Có nghĩa là nếu $p$-giác đều dựng được và $q$-giác đều dựng được, thì $pq$-giác đều cũng dựng được.

Chúng ta tạm dừng ở đây. Các kỳ sau chúng ta sẽ học về cách dựng hình đa giác đều 17 cạnh của nhà toán học Gauss. Hẹn gặp lại các bạn.

Bài tập về nhà.

1. Chứng minh phần mở rộng nói ở cuối bài:

Cho $p$ và $q$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng nếu bằng thước và compa chúng ta dựng được $p$-giác đều và $q$-giác đều thì $pq$-giác đều cũng dựng được.

2. Vào trang google.com để tìm kiếm các bài viết về cách dựng đa giác đều 17 cạnh của Gauss. (dùng từ khoá: Gauss, dựng hình, 17 cạnh,...)