Thuật toán dựng hình

Kỳ trước, chúng ta đã học về tam giác đồng dạng và định lý đường cao tam giác vuông. Hôm nay, tiếp tục du ngoạn trong khu vườn hình học, chúng ta sẽ đi tìm câu trả lời cho bài toán sau đây:

Cho trước một đoạn thẳng có độ dài $r$. Bằng thước và compa, chúng ta có thể dựng được những đoạn thẳng có độ dài bằng bao nhiêu?

Có hai trường hợp đơn giản nhất mà chúng ta có thể trả lời ngay được, đó là

• Chúng ta có thể nhân gấp bội lần một đoạn thẳng cho trước, và
• Chúng ta có thể chia đều một đoạn thẳng cho trước.

Dưới đây là ví dụ

• Cho trước đoạn thẳng $AB = r$, dùng thước và compa, chúng ta có thể dựng được dễ dàng đoạn thẳng $AC = 3r$.

• Cho trước đoạn thẳng $AB=r$, dựng tia $Ax$ và trên đó dựng các điểm thoã mãn $$AC_1=C_1 C_2 = C_2 C_3 = C_3 C_4 = C_4 C_5,$$ qua $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, dựng các đường thẳng song song với $BC_5$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$, và chúng ta có $$AD_1=D_1 D_2 = D_2 D_3 = D_3 D_4 = D_4 B = \frac{r}{5}.$$

• Cho trước đoạn thẳng $AB = r$, chúng ta dựng $AC = 3r$ rồi chia nó thành 5 phần bằng nhau, chúng ta dựng được đoạn thẳng có độ dài $\frac{3}{5} r$.

Từ những trường hợp đơn giản trên đây, chúng ta rút ra kết luận

Cho trước một đoạn thẳng có độ dài $r$, và $\frac{p}{q}$ là một số hữu tỷ, thì bằng thước và compa chúng ta có thể dựng được đoạn thẳng có độ dài bằng $\frac{p}{q} r$.

Bây giờ chúng ta xem xét hai ví dụ khác phức tạp hơn, đó là dựng hình ngũ giác đều và dựng hình đa giác đều 17 cạnh.

Để dựng hình ngũ giác đều, trước hết chúng ta dựng một đường tròn rồi chọn một đỉnh $P_0$. Nếu chúng ta dựng được điểm $H$ thì từ $H$ chúng ta dựng được đỉnh $P_1$. Từ $P_1$ chúng ta có thể dựng được các đỉnh còn lại của hình ngũ giác.

Giả sử $r$ là bán kính của đường tròn, theo công thức lượng giác
$$\angle P_0 O P_1 = \frac{2 \pi}{5}$$ $$OH = r \cos{\frac{2 \pi}{5}}  = r \frac{\sqrt{5}-1}{4}$$

Vậy, để dựng được hình ngũ giác đều, chúng ta cần dựng đoạn thẳng $OH$ có độ dài $\frac{\sqrt{5}-1}{4} r$.


Tương tự như vậy, để dựng được hình đa giác đều 17 cạnh sau đây, chúng ta cần dựng đoạn thẳng $OH = r \cos{\frac{2 \pi}{17}}$.

Vào năm 1796, lúc đó chỉ mới 19 tuổi, nhà toán học Gauss tìm được bước đột phá cho bài toán dựng hình đa giác đều. Dùng những kiến thức về modulo trong số học ông tính được
$$\cos{\frac{2 \pi}{17}} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} + 2 \sqrt{17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}}} \right)$$
và chứng minh rằng đa giác đều 17 cạnh là dựng được.


Qua hai ví dụ ở trên, các bạn có đoán ra được quy luật gì không?



Số dựng được

Chúng ta định nghĩa khái niệm về "số dựng được".

Một số $\alpha$ gọi là một số dựng được nếu $\alpha$ được xây dựng từ các số tự nhiên bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, và căn bậc hai.

Ví dụ,
$$\frac{3}{5} \mbox{ là số dựng được,}$$
$$\cos \frac{2 \pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \mbox{ là số dựng được,}$$
$$\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 5 \sqrt{3} - 2}}{\sqrt{\frac{2}{5}} + 1} \mbox{ là số dựng được.}$$

Chúng ta có định lý sau đây.

Định lý cơ bản của dựng hình. Cho trước một đoạn thẳng có độ dài $r$, và $\alpha$ là một số dựng được, thì bằng thước và compa chúng ta có thể dựng được đoạn thẳng có độ dài bằng $\alpha \, r$.

Chúng ta sẽ chứng minh định lý trên đây bằng cách chỉ ra một thuật toán dựng hình.



Thuật toán dựng hình

Cho trước ba đoạn thẳng có độ dài $r$, $a r$ và $b r$. Dùng thước và compa, chúng ta dựng được

• đoạn thẳng có độ dài $(a+b)r$

• đoạn thẳng có độ dài $(a−b)r$

• đoạn thẳng có độ dài $(ab) r$ 

$AB$ song song với $CD$: $\frac{OD}{OC} = \frac{OA}{OB} = a \to OD = abr$

• đoạn thẳng có độ dài $(a/b) r$ 

$AB$ song song với $CD$: $\frac{OD}{OC} = \frac{OA}{OB} = \frac{a}{b} \to OD = \frac{a}{b} r$

• đoạn thẳng có độ dài $(\sqrt{ab}) r$  

sử dụng định lý đường cao tam giác vuông: $HC^2 = HA \times HB = abr^2 \to HC = \sqrt{ab}r$

Với thuật toán này, nếu $\alpha$ là một số dựng được thì từ một đoạn thẳng có độ dài $r$ ban đầu, chúng ta sẽ chỉ ra được các bước để dựng đoạn thẳng có độ dài $\alpha r$.


Chúng ta tạm dừng ở đây. Các kỳ tới, chúng ta sẽ học về Định lý nhỏ Fermat, vòng tròn modulo và nhiều thứ hấp dẫn khác, rồi chúng ta sẽ dùng những kiến thức này để tìm ra công thức lượng giác của nhà toán học Gauss
$$\cos{\frac{2 \pi}{17}} =  \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} + 2 \sqrt{17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}}} \right)$$

Hẹn gặp lại các bạn.




Bài tập về nhà.

1. Chứng minh rằng $$\cos \frac{2 \pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$

2. Dùng công thức Moivre để tìm một đa thức hệ số nguyên nhận $\cos \frac{2 \pi}{17}$ làm nghiệm.

3. Chúng ta sẽ dùng ký hiệu $(PQ)$ để chỉ đường thẳng $PQ$ và dùng ký hiệu $(P, PQ)$ để chỉ đường tròn tâm $P$ và bán kính $PQ$.

Định lý cơ bản của dựng hình.

Cho trước $AB = r$. Một điểm $M$ trên mặt phẳng gọi là dựng được từ $AB$ nếu tồn tại một dãy các điểm $X_1$, $X_2$, ..., $X_n$ sao cho

• $X_1 = A$, $X_2 = B$ và $X_n = M$
• Với mọi $3 \leq i \leq n$, điểm $X_i$ hoặc là giao điểm của hai đường thẳng $(X_{k_1} X_{k_2})$ và $(X_{k_3} X_{k_4})$, hoặc là giao điểm của đường thẳng $(X_{k_1} X_{k_2})$ với đường tròn $(X_{k_3}, X_{k_3} X_{k_4})$, hoặc là giao điểm của đường tròn $(X_{k_1}, X_{k_1} X_{k_2})$ với đường tròn $(X_{k_3}, X_{k_3} X_{k_4})$, trong đó $1\leq k_1, k_2, k_3, k_4 < i$.

Vẽ một trục tọa độ vuông góc $Axy$ trong đó $B$ nằm trên $Ax$, vậy thì mỗi điểm $M$ nằm trong mặt phẳng sẽ có một tọa độ $M(x,y)$.

Chứng minh rằng điểm $M(x,y)$ dựng được từ $AB$ khi và chỉ khi $x = \alpha_1 r$ và $y = \alpha_2 r$ trong đó $\alpha_1$ và $\alpha_2$ là hai số dựng được.

4. Hãy viết về một bài toán dựng hình mà bạn yêu thích. Dùng google.com để tìm hiểu thêm về bài toán đó.