Dãy số - Phần 1


Hôm nay chúng ta sẽ mở đầu cho một chuổi bài về dãy số. Mục đích của chuổi bài này là trình bày cho các bạn cách tìm công thức tổng quát cho những dãy số xác định bởi các công thức truy hồi tuyến tính. Chúng ta sẽ bắt đầu bài học với những tính chất chung chung của dãy số, cụ thể là chúng ta sẽ học về phép cọng của hai dãy số, và phép nhân một hằng số với một dãy số.




Phép cọng của dãy số

Thường thường khi nói đến phép cọng, chúng ta nghĩ đến phép cọng của hai số, ví dụ $2+3=5$. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta cũng có thể làm phép cọng cho hai dãy số.

Giả sử $\{ a_n \}$ và $\{ b_n \}$ là hai dãy số. Chúng ta có thể cọng hai dãy số này lại $$c_n = a_n + b_n$$ để có một dãy số mới là $\{ c_n \}$.

Dưới đây là một ví dụ, bằng cách lần lượt cọng các số hạng của hai dãy số $\{ a_n \}$ và $\{ b_n \}$ chúng ta có tổng là một dãy số mới $\{ c_n \}$.

Tổng của hai dãy số là một dãy số $\{ c_n \} = \{ a_n \} + \{ b_n \}$


Một cách tương tự, chúng ta có thể làm phép trừ cho hai dãy số $\{c_n\} = \{ a_n \} - \{ b_n \}$, hoặc, chúng ta có thể cọng/trừ ba, bốn dãy số lại với nhau như sau $\{e_n\} = \{ a_n \} - \{ b_n \} + \{ c_n\} - \{ d_n \}$.





Phép nhân một dãy số với một hằng số

Bây giờ giả sử $\{ a_n \}$ là một dãy số và $\alpha$ là một hằng số, chúng ta có thể nhân hằng số $\alpha$ với dãy số $\{ a_n \}$ để được một dãy số mới là $\{ b_n \}$ như sau $$b_n = \alpha ~ a_n.$$

Ở ví dụ dưới dây, bằng cách lần lượt nhân mỗi số hạng của dãy số $\{ a_n \}$ với hằng số $\alpha = 2$ chúng ta có tích là một dãy số mới $\{ b_n \} = 2 \times \{ a_n \}$.
Tích của một dãy số với một hằng số là một dãy số: $\{ b_n \} = 2 \times \{ a_n \}$


Tổng tuyến tính của các dãy số

Nhờ kết hợp phép cọng và phép nhân, chúng ta có thể tạo ra các dãy số mới ví dụ như $$\{d_n\} = \alpha \{ a_n \} + \beta \{ b_n \} + \gamma \{ c_n \},$$ trong đó $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ là những hằng số nào đó.

Chúng ta sẽ gọi dãy số $\{d_n\}$ là tổng tuyến tính của các dãy số $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$, $\{ c_n \}$.



Ở bài toán dưới dây, chúng ta sẽ thấy rằng nếu các dãy số thõa mãn cùng một công thức truy hồi thì tổng tuyến tính của nó cũng thõa mãn công thức truy hồi đó.



Bài toán 1: Giả sử dãy số $\{a_n\}$ thoã mãn công thức truy hồi $$a_n = 5 a_{n-1} - 6 a_{n-2}.$$
Giả sử dãy số $\{b_n\}$ cũng thoã mãn công thức truy hồi $$b_n = 5 b_{n-1} - 6 b_{n-2}.$$
Chứng minh rằng tổng của $\{a_n\}$ và $\{b_n\}$, dãy số $\{c_n\} = \{a_n\} + \{b_n\}$ thõa mãn công thức $$c_n = 5 c_{n-1} - 6 c_{n-2}.$$
Chứng minh rằng với mọi hằng số $\alpha$, $\beta$, tổng tuyến tính $\{d_n\} = \alpha~ \{a_n\} + \beta~ \{b_n\}$ thõa mãn công thức $$d_n = 5 d_{n-1} - 6 d_{n-2}.$$

Lời giải: Chúng ta có 
Vậy dãy số $\{c_n\}$ thõa mãn công thức $c_n = 5 c_{n-1} - 6 c_{n-2}$.

Tương tự như vậy, 

Vậy dãy số $\{d_n\}$ cũng thõa mãn công thức $d_n = 5 d_{n-1} - 6 d_{n-2}$.





Bài toán 2: Tìm tất cả các dãy số có dạng $f_n = z^n$ sao cho $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$.

Lời giải: Thay $f_n = z^n$ vào phương trình $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$ chúng ta có $$z^n = 5 z^{n-1} - 6 z^{n-2}.$$
Trường hợp $z = 0$, chúng ta sẽ có dãy số $f_n = 0$.

Trường hợp $z \neq 0$, chúng ta chia hai vế của phương trình trên cho $z^{n-2}$ sẽ được $$z^2 = 5 z - 6.$$

Giải phương trình bậc hai $$x^2 - 5 x + 6 =0$$ chúng ta tìm được hai nghiệm $x = 2$ và $x=3$.

Vậy $z = 2$ hoặc $z = 3$, và chúng ta có hai dãy số thõa mãn bài toán là $f_n = 2^n$ và $f_n = 3^n$.

Tóm lại, có ba dãy số có dạng $f_n = z^n$ thõa mãn phương trình $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$, đó là $f_n = 0$, $f_n = 2^n$ và $f_n = 3^n$.


Xin các bạn tự kiểm tra lại để cho chắc chắn rằng dãy số $f_n = 2^n$ và $f_n = 3^n$ đúng là thõa mãn phương trình $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$.



Từ hai bài toán trên chúng ta rút ra được điều gì? Từ bài toán số 2, chúng ta biết được hai dãy số $\{ 2^n \}$ và $\{3^n\}$ thõa mãn công thức $$f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$
Từ bài toán số 1, chúng ta có thể lấy tổng tuyến tính của hai dãy số này, đó là dãy số $\{ \alpha ~ 2^n + \beta ~ 3^n\}$, thì dãy số này cũng thõa mãn công thức $$f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$
Ở đây hai số $\alpha$ và $\beta$ là hai số bất kỳ.

Chúng ta ghi lại tóm tắt kết quả mà chúng ta vừa tìm được

Với hai số $\alpha$ và $\beta$ bất kỳ, dãy số xác định bởi công thức $$f_n = \alpha ~ 2^n + \beta ~ 3^n$$ thõa mãn công thức truy hồi $$f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$


Bài toán 3: Xác định giá trị của hai hằng số $\alpha$ và $\beta$ sao cho dãy số $f_n = \alpha ~ 2^n + \beta ~ 3^n$ thõa mãn điều kiện $$f_0 = 1, ~f_1 =7, ~f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$

Lời giải: Lần lượt thay $n=0$ và $n=1$, chúng ta có
$$f_0 = \alpha ~ 2^0 + \beta ~ 3^0 = \alpha + \beta = 1,$$
$$f_1 = \alpha ~ 2^1 + \beta ~ 3^1 = 2 ~\alpha + 3 ~\beta = 7.$$

Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = -4$ và $\beta = 5$. Từ đó chúng ta có $$f_n = 5 \times 3^n - 4 \times 2^n.$$



Các bạn lưu ý rằng có rất nhiều các dãy số thõa mãn công thức $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$. Cứ mỗi giá trị của $\alpha$ và $\beta$ thì chúng ta có một dãy số $f_n = \alpha ~ 2^n + \beta ~ 3^n$ thõa mãn công thức $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$.

Tuy nhiên, chỉ có duy nhất một dãy số thõa mãn điều kiện $$f_0 = 1, ~f_1 =7, ~f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$
Vì vậy, theo bài toán số 3, chúng ta suy ra dãy số $f_n = 5 \times 3^n - 4 \times 2^n$ là dãy số duy nhất thõa mãn $$f_0 = 1, ~f_1 =7, ~f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$


Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ tới chúng ta tiếp tục học về dãy số.


Bài tập về nhà.

1. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau  $$a_0 = 0, ~a_1 =1, ~a_n = 5 a_{n-1} - 6 a_{n-2}.$$

2. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau  $$b_0 = 1, ~b_1 =1, ~b_n = 5 b_{n-1} - 6 b_{n-2}.$$

3. Tìm tất cả các dãy số có dạng $f_n = z^n$ sao cho $f_n =  2 f_{n-1} + 3 f_{n-2}$.


4. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau  $$c_0 = 7, ~c_1 =1, ~c_n = 2 c_{n-1} + 3 c_{n-2}.$$

5. Tìm công thức tổng quát cho dãy số Fibonnaci $$F_0 = 0, ~F_1 =1, ~F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.$$