Modulo cho số hữu tỷ II


kỳ trước, chúng ta đã giới thiệu về khái niệm modulo cho số hữu tỷ. Hôm nay, chúng ta tiếp tục học về khái niệm này.

Đầu tiên, chúng ta ôn lại một vài ví dụ và định nghĩa: $$\frac{14}{5} =_{Q} ~0 \pmod{7}, $$ $$ \frac{16}{55} =_{Q} ~\frac{9}{55} =_{Q} ~\frac{2}{55} \pmod{7},$$ $$\frac{1}{4} =_{Q} ~\frac{8}{4} =_{Q} ~2 \pmod{7}, \dots$$
Định nghĩa. Cho $n$ là một số nguyên, và $\alpha$, $\beta$ là hai số hữu tỷ. Chúng ta nói rằng $\alpha$ và $\beta$ bằng nhau modulo $n$, và viết $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên $k$ nguyên tố cùng nhau với $n$ sao cho $k(\alpha - \beta)$ là một số nguyên và $$k(\alpha - \beta) = 0 \pmod{n}.$$



Để phân biệt về modulo cho số hữu tỷ và modulo cho số nguyên, chúng ta dùng ký hiệu "$=_{Q}$" như trên để chỉ modulo số hữu tỷ, còn ký hiệu thông thường "$=$" thì dành cho modulo số nguyên.

Tuy nhiên, một số nguyên cũng là một số hữu tỷ, như vậy nếu $a$ và $b$ là hai số nguyên thì liệu việc nói rằng $a$ bằng $b$ modulo $n$ theo nghĩa hữu tỷ, và $a$ bằng $b$ modulo $n$ theo nghĩa số nguyên có khác gì nhau không? Câu trả lời là không khác nhau. Hai điều kiện này là tương đương nhau theo định lý sau đây.

Định lý. Cho $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Vậy thì $$a = _{Q} ~b \pmod{n}$$ sẽ tương đương với điều kiện $$a = b \pmod{n}.$$

Ví dụ, chúng ta có $$9 = 2 \pmod{7}$$ và đồng thời $$9 =_{Q} 2 \pmod{7}.$$






Bây giờ chúng ta xem xét các tính chất của modulo số hữu tỷ.

Công thức cộng:
Nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ và $$\chi =_{Q} ~\psi \pmod{n}$$ thì $$\alpha + \chi =_{Q} ~\beta + \psi \pmod{n}.$$

Công thức cộng (trường hợp đặc biệt):
Nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ thì $$\alpha + \chi =_{Q} ~\beta + \chi \pmod{n}.$$

Công thức trừ:
Nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ và $$\chi =_{Q} ~\psi \pmod{n}$$ thì $$\alpha - \chi =_{Q} ~\beta - \psi \pmod{n}.$$

Công thức trừ (trường hợp đặc biệt):
Nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ thì $$\alpha - \chi =_{Q} ~\beta - \chi \pmod{n}.$$

Công thức nhân:
Nếu số hữu tỷ có dạng $$\chi = \frac{x}{y},$$ trong đó $y$ nguyên tố cùng nhau với $n$, và nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ thì $$\chi ~\alpha  =_{Q} ~\chi ~\beta \pmod{n}.$$

Công thức nhân (trường hợp đặc biệt):
Nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ thì với mọi số nguyên $x$, chúng ta có $$x ~\alpha  =_{Q} ~x ~\beta \pmod{n}.$$

Công thức nhân (trường hợp đặc biệt):
Nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ thì với mọi số nguyên $y$ nguyên tố cùng nhau với $n$, chúng ta có $$\frac{1}{y} ~\alpha  =_{Q} ~\frac{1}{y} ~\beta \pmod{n}.$$





    Bây giờ, sau khi đã học về modulo cho số hữu tỷ, mời các bạn đọc lại cách chứng minh Định lý Wilson ở đây. Các bạn sẽ thấy rằng cách chứng minh này có thể được diễn giải rất đẹp theo ngôn ngữ modulo cho số hữu tỷ.

    Ở kỳ sau, chúng ta sẽ trình bày hai cách chứng minh Định lý Wilson theo ngôn ngữ modulo số hữu tỷ. Một cách chứng minh sẽ sử dụng công thức nội suy Newton, còn cách chứng minh kia sẽ sử dụng công thức nội suy Lagrange.

    Hẹn gặp lại các bạn.




    Bài tập về nhà.

    1. Giả sử $n$ là một số nguyên và $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ là các số hữu tỷ. Chứng minh rằng nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ và $$\beta =_{Q} ~\gamma \pmod{n}$$ thì $$\alpha =_{Q} ~\gamma \pmod{n}.$$

    2. Chứng minh công thức nghịch đảo sau đây
    Giả sử $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Nếu $$(a,n)=(b,n)=1$$ và $$a=b \pmod{n}$$ thì $$\frac{1}{a}=_{Q} ~\frac{1}{b} \pmod{n}.$$

    3. Chứng minh công thức nhân sau đây
    Giả sử $$\alpha = \frac{a}{b}, ~\beta = \frac{c}{d}, ~\chi = \frac{x}{y}, ~\psi = \frac{s}{t},$$ trong đó các mẫu số $b, d, y, t$ đều nguyên tố cùng nhau với $n$.
    Nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ và $$\chi =_{Q} ~\psi \pmod{n}$$ thì $$\alpha ~ \chi =_{Q} ~\beta ~ \psi \pmod{n}.$$

    4. Chứng minh công thức luỹ thừa sau đây
    Giả sử $$\alpha = \frac{a}{b}, ~\beta = \frac{c}{d},$$ trong đó các mẫu số $b, d$ đều nguyên tố cùng nhau với $n$.
    Nếu $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ thì $$\alpha^k =_{Q} ~\beta^k \pmod{n}.$$



    Không có nhận xét nào:

    Đăng nhận xét