Câu đố mẹo về đo lường



Hôm nay chúng ta sẽ xem xét một câu đố mẹo về đo lường. Câu đố này hỏi làm cách nào để có thể đong ra được 1 lít nước bằng cách dùng hai bình thể tích 3 lít5 lít.

Chúng ta sẽ phân tích để thấy rằng câu đố này thật ra liên quan đến việc giải phương trình nghiệm nguyên của số học.




Sau đây là một câu đố mẹo cho các em học sinh cấp 1.

Câu đố về đo lường. Dùng hai bình thể tích 3 lít và 5 lít, hãy tìm cách đong ra được 1 lít nước.


Chúng ta hãy cùng tìm hiểu câu đố này.

Chúng ta sẽ phân tích xem sau mỗi lần đong qua đong lại thì lượng nước chứa trong hai bình thay đổi như thế nào.

Giả sử bình $3$ lít đang chứa $a$ lít nước, còn bình $5$ lít đang chứa $b$ lít nước, chúng ta có 8 trường hợp cho bước tiếp theo như sau:

  • Trường hợp 1:
    đổ hết nước ở bình $3$ lít ra ngoài, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành $$(a,b) \to (0,b)$$
  • Trường hợp 2:
    đổ hết nước ở bình $5$ lít ra ngoài, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành $$(a,b) \to (a,0)$$
  • Trường hợp 3:
    đổ nước vào cho đầy bình $3$ lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành $$(a,b) \to (3,b)$$
  • Trường hợp 4:
    đổ nước vào cho đầy bình $5$ lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành $$(a,b) \to (a,5)$$
  • Trường hợp 5: $a+b \leq 5$
    đổ hết nước ở bình $3$ lít qua bình $5$ lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành $$(a,b) \to (0,a+b)$$
  • Trường hợp 6: $a+b \leq 3$
    đổ hết nước ở bình $5$ lít qua bình $3$ lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành $$(a,b) \to (a+b,0)$$
  • Trường hợp 7: $a+b \geq 5$
    đổ nước ở bình $3$ lít qua cho đầy bình $5$ lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành $$(a,b) \to (a+b-5,5)$$
  • Trường hợp 8: $a+b \geq 3$
    đổ nước ở bình $5$ lít qua cho đầy bình $3$ lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành $$(a,b) \to (3,a+b-3)$$

Tóm lại, hình vẽ sau đây miêu tả các trường hợp khi chúng ta dùng hai bình thể tích 3 lít và 5 lít đong qua đong lại

Như vậy lượng nước $(a,b)$ trong hai bình sẽ khởi đầu với giá trị $(0,0)$ và sau mỗi bước đong qua đong lại thì giá trị của $(a,b)$ sẽ thay đổi thành một trong 8 giá trị sau $$(0,b), ~~(a,0), ~~(3,b), ~~(a,5),$$ $$(0,a+b), ~~(a+b,0), ~~(a+b-5,5), ~~(3,a+b-3).$$

Vì lượng nước chỉ thay đổi theo phép cọng trừ liên quan đến hai số 3 và 5 nên chúng ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau đây

Lượng nước trong hai bình luôn luôn là một số có dạng $3 x + 5 y$ trong đó $x$ và $y$ là hai số nguyên.

Như vậy, đây thật chất là một bài toán số học. Để giải bài toán này, chúng ta phải giải phương trình nghiệm nguyên $$3x + 5y = 1.$$

Phương trình này có vô số nghiệm, và như vậy câu đố trên sẽ có vô số các đáp án khác nhau.

Đáp án 1: Chúng ta thấy chẳng hạn $x=2$, $y=-1$ là một nghiệm của phương trình $${\bf 3} \times 2 - {\bf 5} \times 1 = 1.$$

Vậy, để đong ra được 1 lít, chúng ta cần đong đầy bình 3 lít hai lần và đổ qua làm đầy bình 5 lít một lần.

Đáp án của câu đố là như sau
${\bf 3} \times 2 - {\bf 5} \times 1=1$: Đong đầy bình 3 lít hai lần và đổ qua làm đầy bình 5 lít một lần, ta được 1 lít.


Đáp án 2: Một nghiệm khác của phương trình là $x = -3$, $y=2$  $${\bf 5} \times 2 - {\bf 3} \times 3 = 1.$$

Vậy, cách thứ hai để đong ra được 1 lít là chúng ta sẽ đong đầy bình 5 lít hai lần rồi đổ qua làm đầy bình 3 lít ba lần.

Đáp án thứ hai của câu đố là như sau
${\bf 5} \times 2 - {\bf 3} \times 3=1$: Đong đầy bình 5 lít hai lần và đổ qua làm đầy bình 3 lít ba lần, ta được 1 lít.



Như vậy, chúng ta vừa thấy rằng câu đố về đo lường có liên quan mật thiết đến việc giải phương trình nghiệm nguyên $$3x+5y=1.$$ Chúng ta tạm dừng ở đây và trong kỳ tới chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa câu đố về đo lường với bài toán dựng hình đa giác đều. Hẹn gặp lại các bạn.



Bài tập về nhà.

1. Dùng quy nạp, chứng minh rằng lượng nước trong hai bình luôn luôn là một số có dạng $3 x + 5 y$.

2. Dùng hai bình thể tích 5 lít và 7 lít, hãy tìm cách đong ra được 1 lít nước.

3. Dùng hai bình thể tích 5 lít và 7 lít, hãy tìm cách đong ra được 3 lít nước.

4. Dùng hai bình thể tích 6 lít và 8 lít, hãy tìm cách đong ra được 3 lít nước.

5. Vào trang google.com để tìm hiểu thêm về phương trình nghiệm nguyên..




Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét