Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Bằng cách dùng thước kẻ và compa, chúng ta có thể dựng được trung điểm của một đoạn thẳng, hay có thể chia đoạn thẳng ra thành ba phần bằng nhau. Câu hỏi đặt ra là, liệu chúng ta có thể dựng trung điểm của một đoạn thẳng, hay chia đều một đoạn thẳng cho trước ra thành nhiều phần bằng nhau, bằng cách chỉ dùng compa mà không dùng thước hay không. Câu trả lời là có thể! Thật là thú vị phải không các bạn?!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau xem xét cách dựng hình này. Chúng ta sẽ thấy rằng không cần dùng thước kẻ, chúng ta vẫn có thể tìm được trung điểm của một đoạn thẳng, và có thể chia đều một đoạn thẳng ra thành nhiều phần bằng nhau. Các bạn đã sẵn sàng chưa, chúng ta cùng bắt đầu nhé.

Dựng hình chỉ bằng compa

Thông thường ở các bài toán hình học dựng hình, chúng ta được phép dùng thước kẻ và compa. Hôm nay chúng ta xem xét một loại bài toán hơi lạ một chút xíu, đó là chỉ được phép dùng compa để dựng hình.

Hình tam giác

James vẽ hình

Thuật toán dựng hình

Kỳ trước, chúng ta đã học về tam giác đồng dạng và định lý đường cao tam giác vuông. Hôm nay, tiếp tục du ngoạn trong khu vườn hình học, chúng ta sẽ đi tìm câu trả lời cho bài toán sau đây:

Cho trước một đoạn thẳng có độ dài $r$. Bằng thước và compa, chúng ta có thể dựng được những đoạn thẳng có độ dài bằng bao nhiêu?

Định lý đường cao tam giác vuông

Hôm nay chúng ta sẽ học về Định lý đường cao tam giác vuông và dùng nó để chứng minh Định lý Pitago.

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Hôm nay để thoã mãn sự tò mò của các bạn, chúng ta sẽ học về cách dựng hình đa giác đều 15 cạnh. Chúng ta sẽ thấy rằng có một sự liên hệ thú vị giữa bài toán dựng hình này với câu đố mẹo về đo lường mà chúng ta đã học ở bài trước.

Dựng hình đa giác đều

Có hai bài toán dựng hình rất nổi tiếng được biết đến từ thời xa xưa nhưng mãi đến thế kỷ 18-19 mới có thể giải quyết được. Đó là bài toán dựng hình đa giác đều và bài toán chia ba một góc. Mặc dù nghe có vẻ đơn giản vậy, nhưng để giải quyết được nó, các nhà toán học phải sử dụng những công cụ rất hiện đại của số học và đại số. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét bài toán đầu tiên, đó là bài toán dựng hình đa giác đều.

Bài toán dựng hình đa giác đều. Bằng thước và compa, hãy dựng một đa giác đều có $n$ cạnh.

Dựng hình ngũ giác đều

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét một cách dựng hình ngũ giác đều bằng thước và compa dựa vào công thức lượng giác sau đây $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$

Bài toán chia hình tứ giác

Hôm nay xin giới thiệu với các bạn một bài toán dựng hình khá là thú vị như sau:

Bài toán dựng hình. Cho một hình tứ giác $ABCD$ và bốn điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ theo thứ tự này nằm trên cạnh $AB$. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách xác định bốn điểm $N_1$, $N_2$, $N_3$, $N_4$ nằm trên cạnh $CD$ sao cho các đoạn thẳng $M_1 N_1$, $M_2 N_2$, $M_3 N_3$ và $M_4 N_4$ chia hình tứ giác thành 5 hình tứ giác con có diện tích bằng nhau.

Dựng hình bằng thước và compa

Hôm nay chúng ta sẽ mở đầu một chuỗi bài về toán dựng hình. Có những bài toán dựng hình trông đơn giản nhưng gần hai ngàn năm không ai giải được. Ví dụ như bài toán dựng đa giác đều hay bài toán chia ba một góc. Mãi đến thế kỷ 18-19 hai bài toán này mới được giải quyết hoàn toàn. Các nhà toán học phải sử dụng những công cụ rất hiện đại của đại số mới giải được nó.

Trong bài mở đầu này, chúng ta sẽ học về các bước dựng hình cơ bản bằng thước và compa. Khi giải các bài toán dựng hình, chúng ta thừa nhận và dùng các bước dựng hình cơ bản này mà không cần phải giải thích cụ thể.

Bài toán con bướm

Kỳ trước chúng ta đã trình bày một cách chứng minh đơn giản cho bài toán con bướm dựa trên định lý lục giác Pascal. Hôm nay chúng ta sẽ liệt kê một vài cách chứng minh khác dưới dạng bài tập để bạn đọc có thể rèn luyện kỹ năng giải toán.

Cánh bướm Pascal

Hôm nay xin giới thiệu với các bạn một sự kết hợp tuyệt vời giữa hai kết quả hay trong hình học: định lý lục giác Pascal và định lý con bướm.

Định lý Pappus

Hôm nay chúng ta sẽ học về định lý Pappus. Định lý này nói rằng nếu chúng ta chọn ba điểm $1$, $3$, $5$ trên một đường thẳng, và ba điểm $2$, $4$, $6$ trên một đường thẳng khác, thì ba giao điểm của các cặp đường thẳng $$\{12, 45\}, ~\{23, 56\}, ~\{34, 61\}$$ sẽ thẳng hàng.

Định lý Pascal

Kỳ trước chúng ta đã học về định lý lục giác Pascal. Định lý Pascal nói rằng nếu trên đường cônic chúng ta vẽ một hình lục giác nội tiếp thì ba cặp cạnh đối diện của hình lục giác sẽ cắt nhau tại ba điểm thẳng hàng.

Ví dụ như ở hình dưới đây, chúng ta có một hình lục giác nội tiếp một đường tròn, chúng ta thấy rằng ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện $\{12, 45\}$, $\{23, 56\}$, $\{34, 61\}$ của hình lục giác thẳng hàng.

Có một công cụ rất hiệu quả thường dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng, đó là định lý Menelaus. Định lý Menelaus phát biểu như sau:

Định lý Menelaus: Cho tam giác $ABC$ và ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ lần lượt nằm trên ba đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ thẳng hàng khi và chỉ khi $$\frac{\vec{A'B}}{\vec{A'C}} \times \frac{\vec{B'C}}{\vec{B'A}} \times \frac{\vec{C'A}}{\vec{C'B}} = 1.$$

Hôm nay chúng ta sẽ dùng định lý Menelaus để chứng minh định lý Pascal cho trường hợp đường tròn.

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Kỳ trước chúng ta đã học về khái niệm phương tích. Phương tích của một điểm $P$ đến một đường tròn tâm $O$ bán kính $r$ được xác định bởi công thức sau $${\cal P}(P, (O)) = \vec{PU} \times \vec{PV} = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2,$$ ở đây, $U$ và $V$ là hai giao điểm của đường tròn $(O)$ với một đường thẳng bất kỳ đi qua $P$.

Phương tích: ${\cal P}(P, (O)) = \vec{PU} \times \vec{PV} = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2$.

Phương tích cho chúng ta biết được vị trí tương đối của điểm $P$ đối với đường tròn. Nếu phương tích là số dương thì $P$ nằm bên ngoài đường tròn, nếu phương tích là số âm thì $P$ nằm bên trong đường tròn, còn nếu phương tích bằng $0$ thì điểm $P$ nằm trên đường tròn.

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét ứng dụng của phương tích với hai công cụ chính, đó là trục đẳng phương và tâm đẳng phương. Trục đẳng phương thường được dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng, còn tâm đẳng phương thường dùng để chứng minh các đường thẳng đồng quy.

Phương tích

Hôm nay chúng ta sẽ học về khái niệm phương tích của một điểm đối với đường tròn.

Giả sử trên mặt phẳng chúng ta có một điểm $P$ và một đường tròn $(O)$. Kẻ một đường thẳng qua điểm $P$ cắt đường tròn tại hai điểm $U$ và $V$. Vậy thì giá trị của $$PU \times PV$$ sẽ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng.

Điều này có nghĩa là nếu chúng ta vẽ một đường thẳng khác qua $P$ và cắt đường tròn tại hai điểm $A$ và $B$ thì $$PA \times PB = PU \times PV.$$
Giá trị không đổi này được gọi là phương tích của điểm $P$ đối với đường tròn $(O)$.

Lục giác kỳ diệu

Chúng ta đã biết đến nhà toán học Pascal qua tam giác số nổi tiếng - gọi là tam giác số Pascal - mà các hệ số của nó dùng để khai triển nhị thức Newton. Hôm nay chúng ta sẽ giới thiệu một định lý hình học mang tên ông, đó là Định lý Lục Giác Kỳ Diệu. Định lý lục giác kỳ diệu của Pascal nói rằng nếu chúng ta vẽ một hình lục giác nội tiếp một đường tròn thì ba cặp cạnh đối diện của hình lục giác cắt nhau tại ba điểm thẳng hàng.

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Hôm nay chúng ta sẽ học về hai định lý hình học, đó là định lý Ceva và định lý Menelaus. Hai định lý này được dùng rất nhiều trong hình học phẳng bởi vì chúng cho phép chúng ta chứng minh về các điểm thẳng hàng và các đường thẳng đồng quy. Chúng ta sẽ sử dụng một định lý về tỷ lệ diện tích tam giác để chứng minh hai định lý này. Cuối cùng, chúng ta sẽ mở rộng định lý Ceva và định lý Menelaus cho các đa giác bất kỳ.

Định lý Pitago

Định lý Pitago chắc chắn là một trong những định lý nổi tiếng nhất trong toán học. Định lý này nói rằng trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Định lý Pitago: $c^2 = a^2 + b^2$.

Định lý Pitago có rất nhiều cách chứng minh. Nhưng có một cách chứng minh khá là thú vị vì nó được tìm ra bởi vị Tổng thống thứ 20 của Hoa Kỳ - ông James Abram Garfield.

Cách chứng minh của Tổng thống Garfield rất đơn giản. Cách chứng minh này dựa vào cách tính diện tích của hình thang sau đây bằng hai cách khác nhau.

Hình thang này có hai cạnh đáy là $a$ và $b$, còn đường cao là $a+b$. Do đó diện tích của hình thang là $$\frac{1}{2}(a+b)(a+b) = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + 2ab).$$

Cách thứ hai để tính diện tích của hình thang là lấy tổng của diện tích ba hình tam giác con, đó là $$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2} c^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(c^2 + 2ab).$$

So sánh hai kết quả trên, chúng ta rút ra được định lý Pitago! $$c^2 = a^2 + b^2.$$