Điểm Fermat của hình tam giác II

Kỳ trước chúng ta đã tìm hiểu về bài toán hình học Fermat, đó là cho một tam giác $ABC$, tìm điểm $M$ sao cho $MA + MB + MC$ là ngắn nhất.

bài toán Fermat: tìm điểm $M$ sao cho $MA + MB + MC$ là ngắn nhất

Điểm Fermat của hình tam giác

Kỳ trước ở chuổi bài về modulo chúng ta đã tìm hiểu câu chuyện về nhà toán học Fermat với bài toán nổi tiếng $$x^n + y^n = z^n.$$

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét về một bài toán hình học mang tên ông. Như chúng ta đã biết, Fermat không phải là một nhà toán học chuyên nghiệp, mà là một luật sư. Ông làm toán cho vui, và những công trình của ông mà chúng ta biết được ngày hôm nay là nhờ căn cứ vào những thư từ trao đổi giữa ông và bạn bè, cũng như những ghi chép ngẫu nhiên của ông trên những trang sách mà ông đã đọc. Nổi tiếng nhất dĩ nhiên là bài toán $x^n + y^n = z^n$ cùng với lời chú thích "tôi đã tìm ra lời giải tuyệt đẹp nhưng lề sách không đủ chỗ để viết ra" mà ông đã ghi bên lề cuốn sách của Diophantus.

Bài toán hình học mà chúng ta sẽ xem xét hôm nay bắt nguồn từ một lá thư mà Fermat đã gởi cho nhà toán học người Ý, Torricelli. Trong thư ông Fermat đố ông Torricelli tìm ra một điểm mà có tổng khoảng cách đến ba đỉnh của một hình tam giác là bé nhất. Bài này thì ông Torricelli giải được, vì vậy mà bây giờ có người gọi điểm đó là điểm Fermat, có người thì gọi nó là điểm Torricelli.

bài toán Fermat: tìm điểm $M$ sao cho $MA + MB + MC$ là ngắn nhất

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét hai bài toán mà mới nhìn vào thì chúng ta thấy chúng có vẻ không liên quan gì đến nhau. Bài thứ nhất là một bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất còn bài thứ hai thì về tính chất của đường tiếp tuyến hình elip.

Trước hết chúng ta xem xét về hình elip. Hình elip là hình sau đây.

với mọi điểm $P$ trên hình elip thì $PF_1 + PF_2 = \ell$

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Tôi muốn chia xẻ với các bạn một kinh nghiệm mà tôi đã học được. Đó là khi đối diện với một bài toán mà chúng ta chưa biết phải làm như thế nào, thì việc đầu tiên chúng ta có thể làm là xem xét các trường hợp đặc biệt của bài toán. Xem xét các trường hợp đặc biệt giúp chúng ta dần dần hiểu rõ bài toán hơn. Để minh hoạ, chúng ta sẽ làm một vài bài toán.