Dãy số - Phần 8


Kỳ trước chúng ta đã học về cách tìm công thức tổng quát cho dãy số ở dạng lượng giác cho trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm số phức. Hôm nay chúng ta sẽ làm thêm nhiều bài tập về dạng này.



Giả sử chúng ta cần tìm công thức tổng quát cho dãy số thực $\{f_n\}$ thõa mãn phương trình sai phân tuyến tính $$a_k ~f_n + a_{k−1} ~f_{n−1} + a_{k−2} ~f_{n−2}+ \dots + a_0 ~f_{n−k}=0.$$
Các hệ số $a_0, a_1, \dots, a_k$ là các số thực và phương trình đặc trưng $$a_k ~x^k + a_{k−1} ~x^{k−1} + \dots + a_1 ~x + a_0=0$$ có nghiệm phức. Chúng ta sẽ phân loại nghiệm này ra làm hai loại:
  • Loại nghiệm thực: giả sử phương trình đặc trưng có $t$ nghiệm thực $x_1$, $x_2$, ..., $x_t$, trong đó $x_1$ là nghiệm bội bậc $u_1$, $x_2$ là nghiệm bội bậc $u_2$, v.v...
  • Loại nghiệm phức: giả sử phương trình đặc trưng có $s$ bộ nghiệm phức $z_1$, $\overline{z_1}$, $z_2$, $\overline{z_2}$, ..., $z_s$, $\overline{z_s}$, trong đó $z_1$, $\overline{z_1}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_1$, $z_2$, $\overline{z_2}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_2$, v.v...
    Chúng ta viết các nghiệm phức này về dạng lượng giác như sau $$z_1, \overline{z_1} = r_1 (\cos{\phi_1} \pm i ~ \sin{\phi_1}); ~\dots; ~z_s, \overline{z_s} = r_s (\cos{\phi_s} \pm i ~ \sin{\phi_s}).$$
     
Vậy thì công thức cho dãy số là như sau $$f_n = p_1(n) ~x_1^{n} + \dots +  p_t(n) ~x_t^{n} $$ $$+  (g_1(n) ~\cos{n \phi_1} + h_1(n) ~ \sin{n \phi_1}) ~r_1^n + \dots +  (g_s(n) ~ \cos{n \phi_s} + h_s(n) ~ \sin{n \phi_s}) ~r_s^n,$$ trong đó
  • $p_1(n)$, ..., $p_t(n)$ là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua $u_1$, ..., $u_t$; còn
  • $g_1(n)$, $h_1(n)$, ..., $g_s(n)$, $h_s(n)$ là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua $v_1$, ..., $v_s$.

Bây giờ chúng ta sẽ nêu một vài ví dụ.

  • Nếu phương trình đặc trưng là $(x - z_1)(x - \overline{z_1})=0$ với $$z_1, \overline{z_1} = r_1 (\cos{\phi_1} \pm i ~ \sin{\phi_1})$$ thì $$f_n = (g_1 ~\cos{n \phi_1} + h_1 ~ \sin{n \phi_1}) ~r_1^n,$$ trong đó $g_1$, $h_1$ là hai số thực. (Ở bậc phổ thông, các bài toán về dãy số mà các bạn thường gặp là thuộc trường hợp này, đây là trường hợp đơn giản nhất về số phức.)
  • Nếu phương trình đặc trưng là $(x - x_1)(x - z_1)(x - \overline{z_1})=0$ thì $$f_n = p_1 ~x_1^n + (g_1 ~\cos{n \phi_1} + h_1 ~ \sin{n \phi_1}) ~r_1^n,$$ trong đó $p_1$, $g_1$, $h_1$ là các số thực.
  • Nếu phương trình đặc trưng là $(x - x_1)^2 (x - z_1)(x - \overline{z_1})=0$ thì $$f_n = (p_{11} + p_{12} n) ~x_1^n + (g_1 ~\cos{n \phi_1} + h_1 ~ \sin{n \phi_1}) ~r_1^n.$$
  • Nếu phương trình đặc trưng là $(x - x_1)^2 (x - z_1)^2(x - \overline{z_1})^2=0$ thì $$f_n = (p_{11} + p_{12} n) ~x_1^n + [(g_{11} + g_{12} n) ~\cos{n \phi_1} + (h_{11}+ h_{12} n) ~ \sin{n \phi_1}] ~r_1^n .$$
  • Nếu phương trình đặc trưng là $(x - x_1) (x - z_1)^2(x - \overline{z_1})^2=0$ thì $$f_n =p_1 ~x_1^n +  [(g_{11} + g_{12} n) ~\cos{n \phi_1} + (h_{11}+ h_{12} n) ~ \sin{n \phi_1}] ~r_1^n .$$
  • Nếu phương trình đặc trưng là $(x - z_1)(x - \overline{z_1})(x - z_2)(x - \overline{z_2})=0$ thì $$f_n = (g_1 ~\cos{n \phi_1} + h_1 ~ \sin{n \phi_1}) ~r_1^n + (g_2 ~\cos{n \phi_2} + h_2 ~ \sin{n \phi_2}) ~r_2^n.$$


Chúng ta làm vài bài tập.

Bài toán 1: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=1, ~f_1=4, ~f_n= 2 f_{n−1} − 4 f_{n−2}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n= 2 f_{n−1} − 4 f_{n−2}$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 − 2 x + 4 =0.$$
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có nghiệm phức $1 \pm i~ \sqrt{3}$. Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$| 1 \pm i~ \sqrt{3} | = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2.$$

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$1 \pm i~ \sqrt{3} = 2 ~\left( \frac{1}{2} \pm i ~\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 (\cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}).$$

Chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n =  (\alpha ~ \cos{\frac{n \pi}{3}} + \beta ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 2^n.$$

Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0= \alpha = 1,$$ $$f_1=  (\alpha ~\frac{1}{2} + \beta ~\frac{\sqrt{3}}{2}) 2 = 4.$$

Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = 1$ và $\beta = \sqrt{3}$. 

Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số $$f_n =  (\cos{\frac{n \pi}{3}} + \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 2^n.$$



Bài toán 2: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=2, ~f_1=4, ~f_n = f_{n−1} − f_{n−2}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n= f_{n−1} − f_{n−2}$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 − x + 1 =0.$$
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có nghiệm phức $$\frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2}.$$
Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| \frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1.$$

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}.$$

Chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n =  \alpha ~ \cos{\frac{n \pi}{3}} + \beta ~ \sin{\frac{n \pi}{3}}.$$

Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0= \alpha = 2,$$ $$f_1=  \alpha ~\frac{1}{2} + \beta ~\frac{\sqrt{3}}{2} = 4.$$

Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = 2$ và $\beta = 2 \sqrt{3}$. 

Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số $$f_n =  2 ~ \cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} .$$



Bài toán 3: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=5, ~f_1=6, ~f_n = 3 f_{n−1} − 3 f_{n−2}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n = 3 f_{n−1} − 3 f_{n−2}$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 − 3 x + 3 =0.$$
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có nghiệm phức $$\frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2}.$$
Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| \frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right| = \sqrt{\left( \frac{3}{2}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3}.$$

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~ \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}).$$

Chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n =  (\alpha ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} + \beta ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n.$$

Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0= \alpha = 5,$$ $$f_1=  (\alpha ~\frac{\sqrt{3}}{2} + \beta ~\frac{1}{2}) ~\sqrt{3} = 6.$$

Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = 5$ và $\beta = - \sqrt{3}$. 

Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số $$f_n =  (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n .$$




Bài toán 4: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=2, ~f_1=1, ~f_2=10, ~f_n= 4 f_{n−1} − 24 f_{n−3}.$$

Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n= 4 f_{n−1} − 24 f_{n−3}$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^3 − 4 x^2 + 24 =0.$$
Phân tích ra thừa số, chúng ta có $$x^3 − 4 x^2 + 24 = (x+2)(x^2 - 6x + 12).$$
Vậy phương trình đặc trưng có một nghiệm thực là (-2) và hai nghiệm phức là $3 \pm i~ \sqrt{3}$.

Chúng ta sẽ biểu diễn bộ nghiệm phức $3 \pm i~ \sqrt{3}$ về dạng lượng giác.

Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| 3 \pm i~ \sqrt{3} \right| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}.$$

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$3 \pm i~ \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} ~\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~\frac{1}{2} \right) = 2 \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}).$$

Chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = \alpha ~(-2)^n + (\beta ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} + \gamma ~ \sin{\frac{n \pi}{6}} ) ~(2 \sqrt{3})^n.$$

Với $n=0,1,2$, chúng ta có $$f_0= \alpha + \beta= 2,$$ $$f_1= -2 \alpha + (\beta ~\frac{\sqrt{3}}{2} + \gamma ~\frac{1}{2}) 2 \sqrt{3} = 1,$$ $$f_2 = 4 \alpha +(\beta ~\frac{\sqrt{1}}{2} + \gamma ~\frac{\sqrt{3}}{2}) 12 =10.$$

Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = 1$, $\beta = 1$ và $\gamma=0$. 

Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số $$f_n = (-2)^n + (2 \sqrt{3})^n ~  \cos{\frac{n \pi}{6}} .$$


Bài toán 5: Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = (5 ~\cos{\frac{n \pi}{4}} + 3 ~\sin{\frac{n \pi}{4}}) (\sqrt{2})^n.$$

Lời giải: Chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng có hai nghiệm số phức $$z_{1}, \overline{z_1} = \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} \pm i ~\sin{\frac{\pi}{4}}).$$

Chúng ta có $$z_1 \overline{z_1} = (\sqrt{2})^2 = 2,$$ $$z_1 + \overline{z_1} = 2 \sqrt{2} \cos{\frac{\pi}{4}} = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = 2,$$ do đó theo công thức Vieta, $z_1$ và $\overline{z_1}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $$x^2 - 2 x + 2 =0.$$

Từ đó chúng ta có phương trình sai phân $$f_n= 2 f_{n−1} − 2 f_{n−2}.$$

Kết hợp với điều kiện ban đầu chúng ta có công thức truy hồi $$f_0 = 5, ~~f_1 = 8, ~~f_n = 2 f_{n-1} - 2 f_{n-2}.$$


Bài toán 6: Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = \cos{\frac{n \pi}{4}} + \sin{\frac{n \pi}{4}}.$$

Lời giải: Chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng có hai nghiệm số phức $$z_{1}, \overline{z_1} = \cos{\frac{\pi}{4}} \pm i ~\sin{\frac{\pi}{4}}.$$

Chúng ta có $$z_1 \overline{z_1} = 1,$$ $$z_1 + \overline{z_1} = 2 \cos{\frac{\pi}{4}} = 2 \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2},$$ do đó theo công thức Vieta, $z_1$ và $\overline{z_1}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $$x^2 - \sqrt{2} x + 1 =0.$$

Từ đó chúng ta có phương trình sai phân $$f_n= \sqrt{2} f_{n−1} − f_{n−2}.$$

Kết hợp với điều kiện ban đầu chúng ta có công thức truy hồi $$f_0 = 1, ~~f_1 = \sqrt{2}, ~~f_n = \sqrt{2} f_{n-1} - f_{n-2}.$$


Bài toán 7: Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = 2n+1 + (3 ~\cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~\sin{\frac{n \pi}{6}}) (\sqrt{3})^n.$$

Lời giải: Chúng ta có $$f_n = (2n+1)~ 1^n + (3 ~\cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~\sin{\frac{n \pi}{6}}) (\sqrt{3})^n.$$

Chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng có một nghiệm số thực $x_1 = 1$ bội bậc 2 và hai nghiệm số phức $$z_{1}, \overline{z_1} = \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~\sin{\frac{\pi}{6}}).$$

Chúng ta có $$z_1 \overline{z_1} = (\sqrt{3})^2 = 3,$$ $$z_1 + \overline{z_1} = 2 \sqrt{3}~\cos{\frac{\pi}{6}} = 2 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} = 3,$$ do đó theo công thức Vieta, $z_1$ và $\overline{z_1}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $$x^2 - 3 x + 3 =0.$$

Từ đó chúng ta có phương trình đặc trưng $$(x - 1)^2 (x^2 - 3x + 3) = x^4 - 5x^3 + 10 x^2 - 9 x + 3 =0.$$

Vậy phương trình sai phân là $$f_n= 5 f_{n−1} − 10 f_{n−2} + 9 f_{n-3} - 3 f_{n-4}.$$

Kết hợp với điều kiện ban đầu chúng ta có công thức truy hồi $$f_0 = 4, ~~f_1 = 6, ~~f_2 = 5, ~~f_3 = -2, ~~f_n= 5 f_{n−1} − 10 f_{n−2} + 9 f_{n-3} - 3 f_{n-4}.$$


Bài toán 8: Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n =  (2n ~\cos{\frac{n \pi}{3}} - 2 \sqrt{3} ~\sin{\frac{n \pi}{3}}) 3^n.$$

Lời giải: Chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng có hai nghiệm số phức bội bậc 2 $$z_{1}, \overline{z_1} = 3 (\cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~\sin{\frac{\pi}{3}}).$$

Chúng ta có $$z_1 \overline{z_1} = 3^2 = 9,$$ $$z_1 + \overline{z_1} = 6~\cos{\frac{\pi}{3}} = 3,$$ do đó theo công thức Vieta, $z_1$ và $\overline{z_1}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $$x^2 - 3 x + 9 =0.$$

Từ đó chúng ta có phương trình đặc trưng $$(x^2 - 3x + 9)^2 = x^4 - 6 x^3 + 27 x^2 - 54 x + 81 =0.$$

Vậy phương trình sai phân là $$f_n= 6 f_{n−1} − 27 f_{n−2} + 54 f_{n-3} - 81 f_{n-4}.$$

Kết hợp với điều kiện ban đầu chúng ta có công thức truy hồi $$f_0 = 0, ~~f_1 = -6, ~~f_2 = -45, ~~f_3 = -162, ~~f_n= 6 f_{n−1} − 27 f_{n−2} + 54 f_{n-3} - 81 f_{n-4}.$$



Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau sẽ là kỳ cuối của loạt bài về dãy số. Xin hẹn gặp lại các bạn.


Bài tập về nhà.

1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $f_0$ và $f_1$, dãy số sau đây luôn luôn tuần hoàn $$f_n = 2 \cos{\frac{\pi}{2013}} f_{n-1} - f_{n-2}.$$
(Dãy số tuần hoàn là dãy số mà tồn tại một chu kỳ $K \neq 0$ sao cho $f_{n+K} = f_n$ với mọi $n$.)

2. Cho dãy số $$f_0 = 1, ~~f_1 = 2 \cos{\frac{\pi}{2013}}, ~~ f_n = 4 \cos{\frac{\pi}{2013}} f_{n-1} - 4 f_{n-2}$$
Chứng minh rằng $f_{2013}$ là một số nguyên.












Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét