Kỳ trước chúng ta đã học về cách tìm công thức tổng quát cho dãy số ở dạng lượng giác cho trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm số phức. Hôm nay chúng ta sẽ làm thêm nhiều bài tập về dạng này.
Giả sử chúng ta cần tìm công thức tổng quát cho dãy số thực \{f_n\} thõa mãn phương trình sai phân tuyến tính a_k ~f_n + a_{k−1} ~f_{n−1} + a_{k−2} ~f_{n−2}+ \dots + a_0 ~f_{n−k}=0.
Các hệ số a_0, a_1, \dots, a_k là các số thực và phương trình đặc trưng a_k ~x^k + a_{k−1} ~x^{k−1} + \dots + a_1 ~x + a_0=0 có nghiệm phức. Chúng ta sẽ phân loại nghiệm này ra làm hai loại:
- Loại nghiệm thực: giả sử phương trình đặc trưng có t nghiệm thực x_1, x_2, ..., x_t, trong đó x_1 là nghiệm bội bậc u_1, x_2 là nghiệm bội bậc u_2, v.v...
- Loại nghiệm phức: giả sử phương
trình đặc trưng có s bộ nghiệm phức z_1, \overline{z_1}, z_2,
\overline{z_2}, ..., z_s, \overline{z_s}, trong đó z_1,
\overline{z_1} là bộ nghiệm phức bội bậc v_1, z_2,
\overline{z_2} là bộ nghiệm phức bội bậc v_2, v.v...
Chúng ta viết các nghiệm phức này về dạng lượng giác như sau z_1, \overline{z_1} = r_1 (\cos{\phi_1} \pm i ~ \sin{\phi_1}); ~\dots; ~z_s, \overline{z_s} = r_s (\cos{\phi_s} \pm i ~ \sin{\phi_s}).
- p_1(n), ..., p_t(n) là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua u_1, ..., u_t; còn
- g_1(n), h_1(n), ..., g_s(n), h_s(n) là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua v_1, ..., v_s.
- Nếu phương trình đặc trưng là (x - z_1)(x - \overline{z_1})=0 với z_1,
\overline{z_1} = r_1 (\cos{\phi_1} \pm i ~ \sin{\phi_1}) thì f_n = (g_1 ~\cos{n \phi_1} + h_1 ~
\sin{n \phi_1}) ~r_1^n, trong đó g_1, h_1 là hai số thực. (Ở bậc phổ thông, các bài toán về dãy số mà các bạn thường gặp là thuộc trường hợp này, đây là trường hợp đơn giản nhất về số phức.)
- Nếu phương trình đặc trưng là (x - x_1)(x - z_1)(x - \overline{z_1})=0 thì f_n = p_1 ~x_1^n + (g_1 ~\cos{n \phi_1} + h_1 ~ \sin{n \phi_1}) ~r_1^n, trong đó p_1, g_1, h_1 là các số thực.
- Nếu phương trình đặc trưng là (x - x_1)^2 (x - z_1)(x - \overline{z_1})=0 thì f_n = (p_{11} + p_{12} n) ~x_1^n + (g_1 ~\cos{n \phi_1} + h_1 ~ \sin{n \phi_1}) ~r_1^n.
- Nếu phương trình đặc trưng là (x - x_1)^2 (x - z_1)^2(x - \overline{z_1})^2=0 thì f_n = (p_{11} + p_{12} n) ~x_1^n + [(g_{11} + g_{12} n) ~\cos{n \phi_1} + (h_{11}+ h_{12} n) ~ \sin{n \phi_1}] ~r_1^n .
- Nếu phương trình đặc trưng là (x - x_1) (x - z_1)^2(x - \overline{z_1})^2=0 thì f_n =p_1 ~x_1^n + [(g_{11} + g_{12} n) ~\cos{n \phi_1} + (h_{11}+ h_{12} n) ~ \sin{n \phi_1}] ~r_1^n .
- Nếu phương trình đặc trưng là (x - z_1)(x - \overline{z_1})(x - z_2)(x - \overline{z_2})=0 thì f_n = (g_1 ~\cos{n \phi_1} + h_1 ~ \sin{n \phi_1}) ~r_1^n + (g_2 ~\cos{n \phi_2} + h_2 ~ \sin{n \phi_2}) ~r_2^n.
Chúng ta làm vài bài tập.
Bài toán 1: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=1, ~f_1=4, ~f_n= 2 f_{n−1} − 4 f_{n−2}.
Lời giải: Từ phương trình sai phân f_n= 2 f_{n−1} − 4 f_{n−2} chúng ta có phương trình đặc trưng x^2 − 2 x + 4 =0.
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có nghiệm phức 1 \pm i~ \sqrt{3}. Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng | 1 \pm i~ \sqrt{3} | = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2.
Từ đó chúng ta có dạng lượng giác 1 \pm i~ \sqrt{3} = 2 ~\left( \frac{1}{2} \pm i ~\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 (\cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}).
Chúng ta tìm dãy số có dạng f_n = (\alpha ~ \cos{\frac{n \pi}{3}} + \beta ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 2^n.
Với n=0,1, chúng ta có f_0= \alpha = 1, f_1= (\alpha ~\frac{1}{2} + \beta ~\frac{\sqrt{3}}{2}) 2 = 4.
Giải hệ phương trình này chúng ta có \alpha = 1 và \beta = \sqrt{3}.
Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số f_n = (\cos{\frac{n \pi}{3}} + \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 2^n.
Bài toán 2: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=2, ~f_1=4, ~f_n = f_{n−1} − f_{n−2}.
Lời giải: Từ phương trình sai phân f_n= f_{n−1} − f_{n−2} chúng ta có phương trình đặc trưng x^2 − x + 1 =0.
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có nghiệm phức \frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2}.
Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng \left| \frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1.
Từ đó chúng ta có dạng lượng giác \frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}.
Chúng ta tìm dãy số có dạng f_n = \alpha ~ \cos{\frac{n \pi}{3}} + \beta ~ \sin{\frac{n \pi}{3}}.
Với n=0,1, chúng ta có f_0= \alpha = 2, f_1= \alpha ~\frac{1}{2} + \beta ~\frac{\sqrt{3}}{2} = 4.
Giải hệ phương trình này chúng ta có \alpha = 2 và \beta = 2 \sqrt{3}.
Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số f_n = 2 ~ \cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} .
Bài toán 3: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=5, ~f_1=6, ~f_n = 3 f_{n−1} − 3 f_{n−2}.
Lời giải: Từ phương trình sai phân f_n = 3 f_{n−1} − 3 f_{n−2} chúng ta có phương trình đặc trưng x^2 − 3 x + 3 =0.
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có nghiệm phức \frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2}.
Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng \left| \frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right| = \sqrt{\left( \frac{3}{2}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3}.
Từ đó chúng ta có dạng lượng giác \frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~ \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}).
Chúng ta tìm dãy số có dạng f_n = (\alpha ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} + \beta ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n.
Với n=0,1, chúng ta có f_0= \alpha = 5, f_1= (\alpha ~\frac{\sqrt{3}}{2} + \beta ~\frac{1}{2}) ~\sqrt{3} = 6.
Giải hệ phương trình này chúng ta có \alpha = 5 và \beta = - \sqrt{3}.
Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số f_n = (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n .
Bài toán 4: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=2, ~f_1=1, ~f_2=10, ~f_n= 4 f_{n−1} − 24 f_{n−3}.
Lời giải: Từ phương trình sai phân f_n= 4 f_{n−1} − 24 f_{n−3} chúng ta có phương trình đặc trưng x^3 − 4 x^2 + 24 =0.
Phân tích ra thừa số, chúng ta có x^3 − 4 x^2 + 24 = (x+2)(x^2 - 6x + 12).
Vậy phương trình đặc trưng có một nghiệm thực là (-2) và hai nghiệm phức là 3 \pm i~ \sqrt{3}.
Chúng ta sẽ biểu diễn bộ nghiệm phức 3 \pm i~ \sqrt{3} về dạng lượng giác.
Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng \left| 3 \pm i~ \sqrt{3} \right| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}.
Từ đó chúng ta có dạng lượng giác 3 \pm i~ \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} ~\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~\frac{1}{2} \right) = 2 \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}).
Chúng ta tìm dãy số có dạng f_n = \alpha ~(-2)^n + (\beta ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} + \gamma ~ \sin{\frac{n \pi}{6}} ) ~(2 \sqrt{3})^n.
Với n=0,1,2, chúng ta có f_0= \alpha + \beta= 2, f_1= -2 \alpha + (\beta ~\frac{\sqrt{3}}{2} + \gamma ~\frac{1}{2}) 2 \sqrt{3} = 1, f_2 = 4 \alpha +(\beta ~\frac{\sqrt{1}}{2} + \gamma ~\frac{\sqrt{3}}{2}) 12 =10.
Giải hệ phương trình này chúng ta có \alpha = 1, \beta = 1 và \gamma=0.
Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số f_n = (-2)^n + (2 \sqrt{3})^n ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} .
Bài toán 5: Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau f_n = (5 ~\cos{\frac{n \pi}{4}} + 3 ~\sin{\frac{n \pi}{4}}) (\sqrt{2})^n.
Lời giải: Chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng có hai nghiệm số phức z_{1}, \overline{z_1} = \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} \pm i ~\sin{\frac{\pi}{4}}).
Chúng ta có z_1 \overline{z_1} = (\sqrt{2})^2 = 2, z_1 + \overline{z_1} = 2 \sqrt{2} \cos{\frac{\pi}{4}} = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = 2, do đó theo công thức Vieta, z_1 và \overline{z_1} là hai nghiệm của phương trình bậc hai x^2 - 2 x + 2 =0.
Từ đó chúng ta có phương trình sai phân f_n= 2 f_{n−1} − 2 f_{n−2}.
Kết hợp với điều kiện ban đầu chúng ta có công thức truy hồi f_0 = 5, ~~f_1 = 8, ~~f_n = 2 f_{n-1} - 2 f_{n-2}.
Bài toán 6: Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau f_n = \cos{\frac{n \pi}{4}} + \sin{\frac{n \pi}{4}}.
Lời giải: Chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng có hai nghiệm số phức z_{1}, \overline{z_1} = \cos{\frac{\pi}{4}} \pm i ~\sin{\frac{\pi}{4}}.
Chúng ta có z_1 \overline{z_1} = 1, z_1 + \overline{z_1} = 2 \cos{\frac{\pi}{4}} = 2 \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}, do đó theo công thức Vieta, z_1 và \overline{z_1} là hai nghiệm của phương trình bậc hai x^2 - \sqrt{2} x + 1 =0.
Từ đó chúng ta có phương trình sai phân f_n= \sqrt{2} f_{n−1} − f_{n−2}.
Kết hợp với điều kiện ban đầu chúng ta có công thức truy hồi f_0 = 1, ~~f_1 = \sqrt{2}, ~~f_n = \sqrt{2} f_{n-1} - f_{n-2}.
Bài toán 7: Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau f_n = 2n+1 + (3 ~\cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~\sin{\frac{n \pi}{6}}) (\sqrt{3})^n.
Lời giải: Chúng ta có f_n = (2n+1)~ 1^n + (3 ~\cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~\sin{\frac{n \pi}{6}}) (\sqrt{3})^n.
Chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng có một nghiệm số thực x_1 = 1 bội bậc 2 và hai nghiệm số phức z_{1}, \overline{z_1} = \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~\sin{\frac{\pi}{6}}).
Chúng ta có z_1 \overline{z_1} = (\sqrt{3})^2 = 3, z_1 + \overline{z_1} = 2 \sqrt{3}~\cos{\frac{\pi}{6}} = 2 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} = 3, do đó theo công thức Vieta, z_1 và \overline{z_1} là hai nghiệm của phương trình bậc hai x^2 - 3 x + 3 =0.
Từ đó chúng ta có phương trình đặc trưng (x - 1)^2 (x^2 - 3x + 3) = x^4 - 5x^3 + 10 x^2 - 9 x + 3 =0.
Vậy phương trình sai phân là f_n= 5 f_{n−1} − 10 f_{n−2} + 9 f_{n-3} - 3 f_{n-4}.
Kết hợp với điều kiện ban đầu chúng ta có công thức truy hồi f_0 = 4, ~~f_1 = 6, ~~f_2 = 5, ~~f_3 = -2, ~~f_n= 5 f_{n−1} − 10 f_{n−2} + 9 f_{n-3} - 3 f_{n-4}.
Bài toán 8: Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau f_n = (2n ~\cos{\frac{n \pi}{3}} - 2 \sqrt{3} ~\sin{\frac{n \pi}{3}}) 3^n.
Lời giải: Chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng có hai nghiệm số phức bội bậc 2 z_{1}, \overline{z_1} = 3 (\cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~\sin{\frac{\pi}{3}}).
Chúng ta có z_1 \overline{z_1} = 3^2 = 9, z_1 + \overline{z_1} = 6~\cos{\frac{\pi}{3}} = 3, do đó theo công thức Vieta, z_1 và \overline{z_1} là hai nghiệm của phương trình bậc hai x^2 - 3 x + 9 =0.
Từ đó chúng ta có phương trình đặc trưng (x^2 - 3x + 9)^2 = x^4 - 6 x^3 + 27 x^2 - 54 x + 81 =0.
Vậy phương trình sai phân là f_n= 6 f_{n−1} − 27 f_{n−2} + 54 f_{n-3} - 81 f_{n-4}.
Kết hợp với điều kiện ban đầu chúng ta có công thức truy hồi f_0 = 0, ~~f_1 = -6, ~~f_2 = -45, ~~f_3 = -162, ~~f_n= 6 f_{n−1} − 27 f_{n−2} + 54 f_{n-3} - 81 f_{n-4}.
Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau sẽ là kỳ cuối của loạt bài về dãy số. Xin hẹn gặp lại các bạn.
Bài tập về nhà.
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của f_0 và f_1, dãy số sau đây luôn luôn tuần hoàn f_n = 2 \cos{\frac{\pi}{2013}} f_{n-1} - f_{n-2}.
(Dãy số tuần hoàn là dãy số mà tồn tại một chu kỳ K \neq 0 sao cho f_{n+K} = f_n với mọi n.)
2. Cho dãy số f_0 = 1, ~~f_1 = 2 \cos{\frac{\pi}{2013}}, ~~ f_n = 4 \cos{\frac{\pi}{2013}} f_{n-1} - 4 f_{n-2}
Chứng minh rằng f_{2013} là một số nguyên.