modulo - Phần 1

Trong bài này chúng ta sẽ học về khái niệm modulo. Hai số $a$ và $b$ được gọi là bằng nhau modulo $n$ nếu $a$ và $b$ có cùng số dư khi chia cho $n$. Hay nói cách khác, là $(a-b)$ chia hết cho $n$. Chúng ta sẽ viết $a = b \pmod{n}$.

Ví dụ như, $5 = 9 \pmod{2}$, $-1 = 3 \pmod{2}$, $-2 = -8 \pmod{2}$. Rõ ràng theo modulo 2 thì một số $a$ bất kỳ sẽ hoặc là $a=0 \pmod{2}$ khi nó là số chẳn, hoặc là $a=1 \pmod{2}$ khi nó là số lẽ. 

Sau đây là một vài ví dụ khác:
$$0 = 3 = 6 = 9 = 12 = -3 = -6 \pmod{3},$$ $$1 = 4 = 7 = -2 = -5 \pmod{3},$$ $$2 = 5 = 8 = -1 = -4 \pmod{3},$$ $$0 = 4 = 8 = -4 \pmod{4},$$ $$1 = 5 = -3 = -7 \pmod{4},$$ $$2 = 6 = -2 = - 6 \pmod{4},$$ $$-2 = -14 \pmod{6}, ~~~7 = -14 \pmod{7}, ~~~5 = -3 \pmod{8}, ~~~16 = -2 \pmod{9}, ...$$

Chúng ta nhắc lại định nghĩa, chúng ta nói $a = b \pmod{n}$ khi mà $a-b$ chia hết cho n và đọc là $a$ bằng $b$ modulo $n$.

Bây giờ chúng ta xem các tính chất của phép modulo này.

Công thức cộng:

Nếu $a = b \pmod{n}$ và $x = y \pmod{n}$ thì $a +x = b + y \pmod{n}$.

Cái này giống như phép cộng chúng ta vẫn thường làm, tức là nếu $a=b$ và $x=y$ thì $a+x = b+y$. Ở đây, ta chỉ việc bỏ thêm cái đuôi modulo $n$ vào mà thôi. Ví dụ, từ $13 = 1 \pmod{4}$ và $2 = 6 \pmod{4}$ chúng ta có $15 = 7 \pmod{4}$.

Chứng minh tính chất này thì thật đơn giản, chúng ta chỉ việc dùng định nghĩa. Bởi vì $a = b \pmod{n}$ cho nên $a-b$ chia hết cho $n$, tương tự, vì $x = y \pmod{n}$ nên $x-y$ chia hết cho $n$. Cộng hai số chia hết cho $n$ sẽ được số chia hết cho $n$, do đó $(a-b)+(x-y)$ sẽ chia hết cho $n$. Chúng ta có $(a-b)+(x-y) = (a+x) - (b+y)$, như vậy vì số $(a+x) - (b+y)$ chia hết cho $n$ cho nên theo định nghĩa, chúng ta sẽ có $a +x = b + y \pmod{n}$. Như vậy là chúng ta đã chứng minh xong công thức cộng. Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu các tính chất khác.


Công thức cộng (trường hợp đặc biệt): 
Nếu $a = b \pmod{n}$ thì $a + z = b + z \pmod{n}$.

Trường hợp đặt biệt này là từ công thức cộng mà ra khi ta áp dụng $a = b \pmod{n}$ và $z = z \pmod{n}$ để được $a + z = b + z \pmod{n}$.

Công thức trừ:

Nếu $a = b \pmod{n}$ và $x = y \pmod{n}$ thì $a - x = b - y \pmod{n}$.


Công thức trừ (trường hợp đặc biệt): 
Nếu $a = b \pmod{n}$ thì $a - z = b - z \pmod{n}$.

Công thức nhân:

Nếu $a = b \pmod{n}$ và $x = y \pmod{n}$ thì $a x = b y \pmod{n}$.

Công thức nhân (trường hợp đặc biệt): 
Nếu $a = b \pmod{n}$ thì $a z = b z \pmod{n}$.

Công thức luỹ thừa:

Nếu $a = b \pmod{n}$  thì $a^k = b^k \pmod{n}$.


Công thức luỹ thừa là từ công thức nhân mà ra. Chúng ta có $a = b \pmod{n}$ và $a = b \pmod{n}$, nên theo công thức nhân chúng ta có $a^2 = b^2 \pmod{n}$. Tiếp tục áp dụng công thức nhân đối với $a^2 = b^2 \pmod{n}$ và $a = b \pmod{n}$, chúng ta có $a^3 = b^3 \pmod{n}$. Và cứ thế đối với mọi số tự nhiên $k$ thì $a^k = b^k \pmod{n}$.



Bài tập về nhà: chứng minh công thức trừ và công thức nhân.

Hẹn gặp lại các bạn tại "modulo - Phần 2" khi chúng ta sẽ xem các ứng dụng của phép modulo.