Điểm Fermat của hình tam giác


Kỳ trước ở chuổi bài về modulo chúng ta đã tìm hiểu câu chuyện về nhà toán học Fermat với bài toán nổi tiếng $$x^n + y^n = z^n.$$

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét về một bài toán hình học mang tên ông. Như chúng ta đã biết, Fermat không phải là một nhà toán học chuyên nghiệp, mà là một luật sư. Ông làm toán cho vui, và những công trình của ông mà chúng ta biết được ngày hôm nay là nhờ căn cứ vào những thư từ trao đổi giữa ông và bạn bè, cũng như những ghi chép ngẫu nhiên của ông trên những trang sách mà ông đã đọc. Nổi tiếng nhất dĩ nhiên là bài toán $x^n + y^n = z^n$ cùng với lời chú thích "tôi đã tìm ra lời giải tuyệt đẹp nhưng lề sách không đủ chỗ để viết ra" mà ông đã ghi bên lề cuốn sách của Diophantus.

Bài toán hình học mà chúng ta sẽ xem xét hôm nay bắt nguồn từ một lá thư mà Fermat đã gởi cho nhà toán học người Ý, Torricelli. Trong thư ông Fermat đố ông Torricelli tìm ra một điểm mà có tổng khoảng cách đến ba đỉnh của một hình tam giác là bé nhất. Bài này thì ông Torricelli giải được, vì vậy mà bây giờ có người gọi điểm đó là điểm Fermat, có người thì gọi nó là điểm Torricelli.
bài toán Fermat: tìm điểm $M$ sao cho $MA + MB + MC$ là ngắn nhất




Để tìm ra câu trả lời cho bài toán Fermat, chúng ta sẽ dùng một tính chất quan trọng của đường tiếp tuyến hình elip. Đó là nếu chúng ta có một hình elip và hai tiêu điểm $F_1$ và $F_2$, thì từ một điểm $P$ bất kỳ trên hình elip, nếu chúng ta kẻ một đường tiếp tuyến thì đường tiếp tuyến này sẽ tạo ra hai góc bằng nhau đối với hai cánh tay $PF_1$ và $PF_2$.
tính chất của đường tiếp tuyến: $\angle xPF_1 = \angle yPF_2$

Các bạn có thể đọc về tính chất đường tiếp tuyến hình elip này ở bài viết "Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp".


Bây giờ quay trở lại với bài toán Fermat. Giả sử rằng chúng ta đã tìm ra được một điểm $M$ sao cho $MA + MB + MC$ là ngắn nhất. Chúng ta cùng phân tích xem $M$ phải là điểm nào.

Giả sử như $MA + MB = \ell$. Chúng ta vẽ hình elip đi qua điểm $M$ và có hai tiêu điểm là $A$ và $B$. Như vậy mọi điểm $P$ trên hình elip chúng ta sẽ có $PA + PB = MA + MB = \ell$. Nhưng bởi vì $MA + MB + MC$ là bé nhất nên $MC \leq PC$. Có nghĩa là khoảng cách từ $C$ đến một điểm $P$ trên đường elip là nhỏ nhất khi $P = M$.
trong tất cả các khoảng cách từ điểm $C$ đến đường elip thì $CM$ là ngắn nhất


Bởi vì trong tất cả các khoảng cách từ $C$ đến hình elip, đoạn $CM$ là ngắn nhất, cho nên nếu chúng ta vẽ hình tròn có tâm là $C$ và bán kính là $CM$ thì đường tròn này phải tiếp xúc với hình elip.
trong tất cả các khoảng cách từ $C$ đến hình elip thì $CM$ là bé nhất nên đường tròn sẽ tiếp xúc với hình elip tại điểm $M$

Từ đó suy ra hình elip và hình tròn sẽ có chung một đường tiếp tuyến tại điểm $M$ như hình dưới đây.



đây chúng ta phải cẩn thận một chút. Lý do là có một trường hợp đặc biệt mà đường tiếp tuyến hình tròn và đường tiếp tuyến hình elip là khác nhau. Đó là khi $M=A$ hoặc $M=B$. Ví dụ như khi $M=B$ thì $\ell = MA + MB = AB$, khi đó đường elip sẽ bị suy biến thành một "elip dẹt", tức là đoạn thẳng $AB$. Ở hình sau đây, chúng ta thấy rằng khi đó đường tiếp tuyến của đường tròn chính là đường thẳng $cM$, còn đường tiếp tuyến của hình elip là đường thẳng $eM$, hai đường tiếp tuyến này là hai đường thẳng khác nhau.


trường hợp đặc biệt khi $M=B$ thì đường tiếp tuyến hình tròn $cM$ và đường tiếp tuyến hình elip $eM$ là hai đường thẳng khác nhau


Tóm lại, ngoại trừ trường hợp đặc biệt là $M=A$ hoặc $M=B$ ra, thì đường elip và đường tròn sẽ có chung một đường tiếp tuyến như hình dưới đây. Theo tính chất của đường tiếp tuyến hình elip chúng ta có $\angle xMA = \angle yMB$. Ngoài ra chúng ta lại có $\angle xMC = \angle yMC = 90^{o}$. Vì vậy, $\angle CMA = \angle CMB$.



ngoại trừ trường hợp đặc biệt là $M=A$ hoặc $M=B$ thì hình elip và hình tròn có chung đường tiếp tuyến $xMy$ và $\angle  CMA = \angle CMB$


Lý luận tương tự, chúng ta suy ra rằng điểm $M$ hoặc là $A$, $B$, $C$, hoặc là điểm được xác định bởi $\angle AMB = \angle BMC = \angle CMA$.

Ở trường hợp $\angle AMB = \angle BMC = \angle CMA$ thì chúng ta sẽ suy ra $$\angle AMB = \angle BMC = \angle CMA = 120^{o}.$$

Thật là thú vị, bài toán Fermat và hình elip xem ra không liên quan gì đến nhau, vậy mà nhờ vào tính chất của đường tiếp tuyến hình elip, chúng ta đã phân tích được điểm cần tìm cho bài toán Fermat. Điểm $M$ để cho $MA + MB + MC$ là ngắn nhất chỉ có thể là một trong bốn khả năng. Điểm $M$ hoặc là $A$, $B$, $C$, hoặc là điểm được xác định bởi $\angle AMB = \angle BMC = \angle CMA = 120^{o}$.


Chúng ta tạm dừng ở đây, ở bài sau, chúng ta sẽ trình bày lời giải bài toán Fermat một cách chi tiết hơn. Chúng ta sẽ thấy rằng lời giải phụ thuộc vào hai trường hợp. Trường hợp thứ nhất là khi tam giác $ABC$ có một góc lớn hơn hoặc bằng $120^{o}$, còn trường hợp thứ hai thì khi tất cả các góc của tam giác $ABC$ đều nhỏ hơn $120^{o}$.

Ở trường hợp thứ nhất, nếu $\angle A \geq 120^{o}$ thì điểm cần tìm chính là điểm $A$.

Ở trường hợp thứ hai, nếu tất cả các góc của hình tam giác $ABC$ đều nhỏ hơn $120^{o}$ thì điểm cần tìm là điểm $M$ để cho $\angle AMB = \angle BMC = \angle CMA = 120^{o}$. Điểm $M$ này được xác định như sau. Dựng ra bên ngoài tam giác $ABC$ ba hình tam giác đều $ABC'$, $BCA'$, $CAB'$. Vẽ các đường tròn ngoại tiếp ba tam giác đều này thì ba hình tròn sẽ cắt nhau tại chính điểm $M$. Hoặc là chúng ta kẻ ba đoạn thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$, thì ba đoạn thẳng này cũng giao nhau tại chính điểm $M$ như hình vẽ sau đây.
điểm Fermat $M$ khi $\angle A, \angle B, \angle B < 120^{o}$



Bài tập về nhà. Chứng minh rằng nếu một hình elip và một hình tròn tiếp xúc với nhau tại một điểm thì qua điểm đó chúng ta có thể vẽ được một đường tiếp tuyến chung cho cả hình elip và hình tròn.







Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét