Không gian 4 chiều là gì?


Trong toán học chúng ta thường nghe nói đến không gian 4 chiều, 5 chiều, v.v..., vậy thì chiều thứ 4 và chiều thứ 5 nằm ở đâu, làm sao chúng ta có thể tưởng tượng ra những chiều này.



Rõ ràng chúng ta thường đồng ý rằng đường thẳng là một chiều, mặt phẳng là hai chiều, không gian là ba chiều. Bởi vì chỉ cần làm một trục toạ độ ba chiều Oxyz thì mọi điểm trong không gian được xác định bởi tọa độ (x,y,z) của nó. Khi nghĩ về chiều thứ 4, chúng ta ngay lập tức nghĩ về chiều thời gian. Như vậy một điểm trong không gian không còn là (x,y,z) nữa mà là (x,y,z,t). Do đó một vị trí cố định (x,y,z) trong không gian ba chiều thật ra là vô số điểm trong không gian bốn chiều, và tọa độ của nó (x,y,z,t) là thay đổi theo biến thời gian t. Có nghĩa là điểm (x,y,z) của ngày hôm nay khác với điểm (x,y,z) của ngày hôm qua cho dù x, y, z là không đổi nhưng t đã thay đổi từ t = một thời điểm ở ngày hôm qua thành t = một thời điểm tại ngày hôm nay.

Nếu cho rằng chiều thứ 4 là chiều thời gian, vậy thì chiều thứ 5 là chiều gì? Nghĩ đến đây thì chúng ta thấy bí! Không lẽ đó là chiều đi lên thiên đàng hay chiều đi xuống địa ngục. Đó là chưa nói đến, trong lý thuyết dây hiện nay, nhiều nhà vật lý học nghĩ rằng vũ trụ mà chúng ta đang ở là 11 chiều!

Vậy, khi nói đến số chiều, các nhà toán học sẽ nghĩ về nó như thế nào? Khi một nhà toán học nói một không gian là 4 chiều hay 5 chiều hay 11 chiều, họ nói đến số lượng các "đại lượng tự do". Số chiều có nghĩa là có bao nhiêu đại lượng tự do trong không gian đó. Số chiều có nghĩa là, muốn mô tả không gian đó các nhà toán học cần bao nhiêu "biến số tự do".



Chúng ta xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ thứ nhất là vòng tròn. Một vòng tròn bán kính bằng 1 sẽ có công thức là $x^2 + y^2 = 1$. Vòng tròn này trong mặt phẳng hai chiều và được xác định bởi hai biến số là $x$ và $y$. Nhưng rõ ràng rằng hai biến số này không phải là hai đại lượng tự do. Nếu chúng ta cho $x$ một giá trị nào đó thì $y$ sẽ không còn tự do nữa mà phải bắt buộc là bằng $\pm \sqrt{1 - x^2}$. Vì vậy vòng tròn này tuy nằm trên mặt phẳng 2-chiều nhưng nó là một vật thể1-chiều. Nếu bạn nào không tin rằng vòng tròn này là hình 1-chiều thì bạn có thể hỏi một con vi-rút đang sống trên vòng tròn này thì rõ.

- "Này em vi-rút, nói cho anh nghe coi, ngôi nhà em đang ở nhìn như thế nào"
- "Thưa anh, em đang sống trên một đường thẳng anh ạ" - em vi-rút sẽ trả lời bạn như vậy!

một con vi-rút sống trên đường tròn sẽ cảm giác như là mình đang sống trên một đường thẳng một chiều

Ví dụ thứ hai là mặt phẳng có công thức $x+y+z=1$. Mặt phẳng này rõ ràng là mặt phẳng 2-chiều. Tuy nhiên nó lại nằm trong không gian 3-chiều và cần đến ba biến số $x$, $y$, $z$ để miêu tả nó. Tuy vậy, ba biến số này không phải là ba đại lượng tự do. Nếu chúng ta cho $x$ và $y$ một giá trị nào đó thì $z$ không còn tự do nữa mà phải bằng $1-x-y$. Như vậy ta có hai đại lượng tự do $x$, $y$, còn $z$ sẽ phụ thuộc vào $x$ và $y$.



mặt phẳng 2-chiều x+y+z=1 trong không gian 3-chiều



Khi giải toán, đôi khi sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta nhận ra sự liên hệ giữa các biến số và tập trung vào các biến số tự do. Chúng ta xem xét bài toán sau đây.




Bài toán: Chứng minh rằng nếu
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$$
thì
$$ \left( \frac{a+b+c+d+e+f}{b+d+f} \right)^3 =
\frac{a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 + f^3}{b^3 + d^3 + f^3}
+ \frac{acf + ceb + ead}{bdf}
+ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} . $$




Phân tích: Trước hết chúng ta thấy rằng đây chỉ là bài toán chứng minh về hằng đẳng thức. Muốn chứng minh hằng đẳng thức thì việc dễ nhất (nhưng chưa chắc là hiệu quả nhất) là khai triễn tất cả ra và chứng minh hai vế của đẳng thức là bằng nhau dựa vào những mối quan hệ mà đề bài đã cho. Theo đề bài, chúng ta có 6 biến số $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ và $f$, và chúng ta có mối quan hệ
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$$

Theo như câu chuyện về số chiều mà chúng ta nói ở trên, đây rõ ràng không phải là không gian 6-chiều, cho dù rằng chúng ta có 6 biến số. Sáu biến số này có mối quan hệ chồng chéo, ví dụ như $ad = bc$, $cf = de$, v.v...

Vậy làm thế nào để chúng ta triệt tiêu hết các mối quan hệ này để giữ lại các đại lượng tự do. Cái mẹo là chúng ta dùng một biến $k$ mới như sau.
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f} = k$$

Bằng cách dùng biến mới $k$, bài toán trở thành là bài toán 4-chiều gồm có bốn đại lượng tự do $b$, $d$, $f$ và $k$. Những đại lượng còn lại đều phụ thuộc vào 4 đại lượng tự do này, đó là $a = bk$, $c = dk$, $e = fk$.


Lời giải: Chúng ta đặt
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f} = k,$$
vậy thì, $a = kb$, $c = kd$ và $e = kf$.

Do đó
$$ \frac{a+b+c+d+e+f}{b+d+f} = \frac{kb+b+kd+d+kf+f}{b+d+f} = k+1, $$

$$
\frac{a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 + f^3}{b^3 + d^3 + f^3} =
\frac{k^3 b^3 + b^3 + k^3 d^3 + d^3 + k^3 f^3 + f^3}{b^3 + d^3 + f ^3} = k^3 + 1,
$$

$$
\frac{acf + ceb + ead}{bdf} =
\frac{kb ~kd ~f + kd ~kf ~b + kf ~kb ~d}{bdf} = 3 k^2,
$$

$$
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = 3k .
$$

Và vì vậy đẳng thức mà chúng ta cần chứng minh trở thành
$$
(k+1)^3 = k^3 + 1 + 3 k^2 + 3 k,
$$

đây là hằng đẳng thức quen thuộc. Như vậy bài toán đã được giải quyết xong.



Bài tập về nhà: Chứng minh rằng nếu
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$$
thì
$$
\frac{a^7 + c^7 + e^7}{b^7 + d^7 + f^7}
=
\left( \frac{a+c+e}{b+d+f} \right)^7
$$





5 nhận xét:

  1. quá hay/ hy vọng nhiều hơn từ ban

    Trả lờiXóa
  2. bài viết rất hay và ấn tượng.

    Trả lờiXóa
  3. Hay quá. Mong là sẻ có nhieu bai viet nua

    Trả lờiXóa
  4. Bạn cho hình vẽ giải không gian 4 chiều thì tốt quá!
    Thanks bạn nhiều!

    Trả lờiXóa
  5. hay quá mk thích ví dụ con ví rút :)))

    Trả lờiXóa