Liên phân số Fibonacci


Fibonacci có lẽ là dãy số nổi tiếng nhất trong toán học. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau nhìn ngắm vẽ đẹp của các liên phân số Fibonacci.


Dãy số Fibonacci là dãy số $$0, ~1, ~1, ~2, ~3, ~5, ~8, ~13, ~21, ~34, ~55, ~89, ~144, \dots$$ Chúng ta thấy quy luật của dãy số là: mỗi số hạng của dãy số Fibonacci bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó.

Vì vậy, công thức của dãy số là $$F_0 = 0, ~F_1 = 1, ~~F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$


Bây giờ, chúng ta sẽ viết các phân số Fibonacci $\frac{F_n}{F_{n-1}}$ dưới dạng liên phân số như sau:

Đầu tiên $$\frac{F_2}{F_1} = \frac{1}{1}$$
Tiếp theo, $$\frac{F_3}{F_2} = \frac{2}{1} = 1 + \frac{1}{1}$$
$$\frac{F_4}{F_3} = \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2} = 1 + \cfrac{1}{\frac{2}{1}} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1}}$$
$$\frac{F_5}{F_4} = \frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + \cfrac{1}{\frac{3}{2}} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1}}}$$
Các bạn thấy có đẹp không?!
$$\frac{F_6}{F_5} = \frac{8}{5} = 1 + \frac{3}{5} = 1 + \cfrac{1}{\frac{5}{3}} = 1 + \cfrac{1}{\frac{F_5}{F_4}} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1}}}}$$
Và tiếp tục
$$\frac{F_7}{F_6} = \frac{13}{8} = 1 + \cfrac{1}{\frac{F_6}{F_5}} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1}}}}}$$
$$\frac{F_8}{F_7} = \frac{21}{13} = 1 + \cfrac{1}{\frac{F_7}{F_6}} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1}}}}}}$$


Chúng ta tạm dừng ở đây. Mời các bạn đọc thêm, về dãy số Fibonacci và bài toán xếp hình ở đây. Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.



Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét