1 = 2012 = 2013

Ở các bài trước, chúng ta đã học về cách chứng minh bằng quy nạp và đã dùng phương pháp này để giải một số bài toán. Chúng ta có thể thấy rằng phương pháp chứng minh bằng quy nạp rất tiện dụng trong việc giải toán. Hôm nay, chúng ta sẽ xem xét hai cách chứng minh bằng quy nạp dẫn đến một kết quả sai là $$1 = 2012 = 2013$$ Các bạn thử chỉ ra xem cách chứng minh này sai ở đâu nhé.







Chứng minh $1 = 2012$

Xây dựng dãy số như sau: $$a_0 = 2012, ~~a_1 = 1, ~~a_{n+1} = 2 a_{n} - a_{n-1}.$$

Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số $n$ mệnh đề sau đây,

Với mọi $m$, $n$ thì $a_m = a_{m+1} = \dots = a_{m+n}$

Với $n=0$, chúng ta có $$a_m = a_{m+0}$$
Do đó mệnh đề đúng cho trường hợp $n=0$.

Giả sử mệnh đề đúng với các trường hợp $0 \leq n \leq k$. Chúng ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với trường hợp $n=k+1$. Tức là chúng ta sẽ chứng minh rằng $$a_m = a_{m+1} = \dots = a_{m+k+1}$$

Thực vậy theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng với trường hợp $n=k$, cho nên $$a_{m} = a_{m+1} = \dots = a_{m+k}$$
ngoài ra, bởi vì đẳng thức trên đúng với mọi $m$ nên chúng ta có thể thay $m$ bằng $m+1$ và chúng ta có
$$a_{m+1} = a_{m+2} = \dots = a_{m+1+k}$$

Từ đó chúng ta suy ra $$a_{m} = a_{m+1} = \dots = a_{m+k} = a_{m+k+1}$$

Như vậy chúng ta đã chứng minh mệnh đề đúng cho trường hợp $n=k+1$.

Theo nguyên lý quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi $n$.

Tóm lại chúng ta đã chứng minh được đẳng thức sau đây $$a_m = a_{m+1} = \dots = a_{m+n}$$

Thay $m=0$ và $n=1$, chúng ta sẽ có đẳng thức $$a_0 = a_1$$
tức là $$2012 = 1$$




Chứng minh $1 = 2013$


Dùng dãy số như trên $$a_0 = 2012, ~~a_1 = 1, ~~a_{n+1} = 2 a_{n} - a_{n-1}.$$

Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số $n$ mệnh đề sau đây,

Với mọi $n$ thì $a_n = n + 2012$

Với $n=0$, chúng ta có $$a_0 = 2012 = 0 + 2012$$
Do đó mệnh đề đúng cho trường hợp $n=0$.

Giả sử mệnh đề đúng với các trường hợp $0 \leq n \leq k$. Chúng ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với trường hợp $n=k+1$. Tức là chúng ta sẽ chứng minh rằng
$$a_{k+1} = (k + 1) + 2012 = k + 2013$$

Thực vậy theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng với trường hợp $n=k-1$, cho nên $$a_{k-1} = (k - 1) + 2012 = k + 2011$$
Cũng theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng với trường hợp $n=k$, cho nên $$a_k = k + 2012$$

Do đó, $$a_{k+1} = 2 a_{k} - a_{k-1} = 2(k + 2012) - (k + 2011) = k + 2013$$

Như vậy chúng ta đã chứng minh mệnh đề đúng cho trường hợp $n=k+1$.

Theo nguyên lý quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi $n$.

Tóm lại chúng ta đã chứng minh được đẳng thức sau đây $$a_n = n + 2012$$

Thay $n=1$, chúng ta sẽ có đẳng thức $$a_1 = 1 + 2012 = 2013$$
nhưng mà theo định nghĩa của dãy số thì $a_1 = 1$, vậy $$2013 = 1$$




Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.