Vườn Toán: Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác cho góc bội

Kỳ trước chúng ta đã học về cách dựng hình ngũ giác đều bằng thước và compa dựa vào công thức lượng giác

$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$
Để tìm ra công thức của

$\cos{\frac{\pi}{5}}$ như trên, chúng ta xuất phát từ đẳng thức

$\cos{\frac{2 \pi}{5}} = -\cos{\frac{3 \pi}{5}}$ rồi dùng công thức lượng giác cho góc gấp đôi và góc gấp ba:

$\cos{2 x} = 2 \cos^2{x} - 1,$

$\cos{3 x} = 4 \cos^3{x} - 3 \cos{x}$ để tạo ra một phương trình bậc ba cho

$\cos{\frac{\pi}{5}}$ .

Nhân tiện nói về công thức lượng giác, hôm nay chúng ta sẽ học một ứng dụng của số phức bằng cách dùng công thức Moivre của số phức để tìm ra công thức lượng giác cho góc bội:

$\sin{nx}$ ,

$\cos{nx}$ ,

$\tan{nx}$ và

$\cot{nx}$ .

Đầu tiên chúng ta sẽ ôn lại một chút về số phức và công thức Moivre.

Công thức Moivre về số phức

Số phức có dạng tổng quát là

$a+ib,$ ví dụ như

$3+2i, ~~ 5-3i, ~~ 2i+7, ~~ 8i, ~~ 4i-2, ~~ 5, ~~ i+1, \dots$ Số

$a$ gọi là phần thực, còn số

$ib$ gọi là phần ảo.

Các phép tính cộng trừ nhân chia của số phức cũng giống như số thực, chỉ có điều bạn nên nhớ rằng

$i^2 = -1, ~~ i^3 = -i, ~~ i^4 = -i^2 = 1, ~~ i^5 = i, ~~i^6 = i^2 = -1, \dots$

$(a + i b) + (c + i d) = (a+c) + i (b+d) ,$ $(a + i b)- (c + i d) = (a-c) + i (b - d).$

$(a + i b)(c + i d) = ac + i ad + i bc + i^2 bd = (ac - bd) + i (bc + ad ) .$

sử dụng đẳng thức $(a + i b)(a - ib ) = a^2 - i^2 b^2 = a^2 + b^2 .$ $\frac{c + i d}{a + i b} = \frac{(c + i d)(a - ib)}{(a + ib)(a - ib)} = \frac{(ac + bd) + i(ad - bc)}{a^2 + b^2} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + i \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}.$

$\overline{a + i b} = a - ib, ~~~~\overline{a- ib} = a + ib.$

$|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}.$

Có một tính chất rất quan trọng của số phức, đó là, mọi số phức

$z$ đều có thể được viết về dạng lượng giác như sau

$z= |z|(\cos{\alpha} + i \sin{\alpha}).$
Dạng lượng giác rất tiện lợi trong việc nhân và chia số phức, bởi vì

$(\cos{\alpha_1} + i \sin{\alpha_1})(\cos{\alpha_2} + i \sin{\alpha_2})$

$= (\cos{\alpha_1} \cos{\alpha_2} - \sin{\alpha_1} \sin{\alpha_2}) + i (\sin{\alpha_1} \cos{\alpha_2} + \cos{\alpha_1} \sin{\alpha_2})$

$= \cos{(\alpha_1 + \alpha_2)} + i \sin{(\alpha_1 + \alpha_2)}.$
Như vậy, nếu chúng ta có hai số phức

$z_1= |z_1|(\cos{\alpha_1} + i \sin{\alpha_1}),$

$z_2= |z_2|(\cos{\alpha_2} + i \sin{\alpha_2}),$ thì tích và thương của chúng có công thức đơn giản sau đây

$z_1 z_2 = |z_1| |z_2| (\cos{(\alpha_1 + \alpha_2)} + i \sin{(\alpha_1 + \alpha_2)}),$

$\frac{z_1}{z_2}= \frac{|z_1|}{|z_2|} (\cos{(\alpha_1 - \alpha_2)} + i \sin{(\alpha_1 - \alpha_2)}).$
Trong trường hợp đặc biệt

$\alpha_1 = \alpha_2$ , chúng ta có

$z^2= |z|^2 (\cos{2 \alpha} + i \sin{2 \alpha}).$
Dĩ nhiên, nếu chúng ta áp dụng công thức nhân liên tiếp thì chúng ta sẽ có công thức lũy thừa

$z^n= |z|^n (\cos{n \alpha} + i \sin{n \alpha}).$
Trong trường hợp

$|z|=1$ thì chúng ta có

Công thức Moivre:
$(\cos{\alpha} + i \sin{\alpha})^n = \cos{n \alpha} + i \sin{n \alpha}.$

Vậy chỉ cần dùng nhị thức Newton để khai triễn công thức Moivre, chúng ta sẽ tìm được công thức lượng giác cho góc bội

$\cos{n \alpha}$ và

$\sin{n \alpha}$ !

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác cho góc gấp đôi

Sử dụng công thức Moivre cho

$n=2$ , chúng ta có

$\cos{2 x} + i \sin{2 x} = (\cos{x} + i \sin{x})^2$

$= \cos^2{x} + 2 \cos{x} (i \sin{x}) + (i \sin{x})^2$

$= \cos^2{x} -\sin^2{x} + i 2 \sin{x} \cos{x}$
Vậy chúng ta rút ra

$\cos{2 x} = \cos^2{x} -\sin^2{x} = \cos^2{x} - ( 1 - \cos^2{x}) = 2 \cos^2{x} - 1$

$\sin{2 x} = 2 \sin{x} \cos{x}$

$\tan{2x} = \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}} = \frac{2 \sin{x} \cos{x}}{\cos^2{x} -\sin^2{x}} = \frac{2 \sin{x} \cos{x} / \cos^2{x}}{(\cos^2{x} -\sin^2{x}) / \cos^2{x}}= \frac{2 \tan{x}}{1 - \tan^2{x}}$

$\cot{2x} = \frac{\cos{2x}}{\sin{2x}} = \frac{\cos^2{x} -\sin^2{x}}{2 \sin{x} \cos{x}} = \frac{(\cos^2{x} -\sin^2{x}) / \sin^2{x}}{2 \sin{x} \cos{x} / \sin^2{x}} = \frac{\cot^2{x} - 1}{2 \cot{x}}$

Công thức lượng giác cho góc gấp ba

Sử dụng công thức Moivre cho

$n=3$ , chúng ta có

$\cos{3 x} + i \sin{3 x} = (\cos{x} + i \sin{x})^3$

$= \cos^3{x} + 3 \cos^2{x} (i \sin{x}) + 3 \cos{x} (i \sin{x})^2 + (i \sin{x})^3$

$= \cos^3{x} - 3 \cos{x} \sin^2{x} + i (3 \cos^2{x} \sin{x} - \sin^3{x})$
Vậy chúng ta rút ra

$\cos{3 x} = \cos^3{x} - 3 \cos{x} \sin^2{x} =\cos^3{x} - 3 \cos{x} (1 - \cos^2{x}) =4 \cos^3{x} - 3 \cos{x}$

$\sin{3 x} = 3 \cos^2{x} \sin{x} - \sin^3{x} =3 (1 - \sin^2{x}) \sin{x} - \sin^3{x} =3 \sin{x} - 4 \sin^3{x}$

$\tan{3 x} = \frac{\sin{3 x}}{\cos{3 x}} = \frac{3 \cos^2{x} \sin{x} - \sin^3{x}}{\cos^3{x} - 3 \cos{x} \sin^2{x}}= \frac{3 \tan{x} - \tan^3{x}}{1 - 3 \tan^2{x} }$

$\cot{3 x} = \frac{\cos{3 x}}{\sin{3 x}} = \frac{\cos^3{x} - 3 \cos{x} \sin^2{x}}{3 \cos^2{x} \sin{x} - \sin^3{x}}= \frac{\cot^3{x} - 3 \cot{x}}{3 \cot^2{x} - 1}$

Công thức lượng giác cho góc gấp bốn

Sử dụng công thức Moivre cho

$n=4$ , chúng ta có

$\cos{4 x} + i \sin{4 x} = (\cos{x} + i \sin{x})^4$

$= \cos^4{x} + 4 \cos^3{x} (i \sin{x}) + 6 \cos^2{x} (i \sin{x})^2 + 4 \cos{x} (i \sin{x})^3 + (i \sin{x})^4$

$= \cos^4{x} - 6 \cos^2{x} \sin^2{x} + \sin^4{x} + i (4 \cos^3{x} \sin{x} - 4 \cos{x} \sin^3{x})$ Vậy chúng ta rút ra

$\cos{4 x} = \cos^4{x} - 6 \cos^2{x} \sin^2{x} + \sin^4{x} = \cos^4{x} - 6 \cos^2{x} (1-\cos^2{x}) + (1- \cos^2{x})^2$ $= 8 \cos^4{x} - 8 \cos^2{x} + 1$

$\sin{4 x} = 4 \cos^3{x} \sin{x} - 4 \cos{x} \sin^3{x} = 4 \cos{x} (1 - \sin^2{x}) \sin{x} - 4 \cos{x} \sin^3{x}$ $= 4 \cos{x} (\sin{x} - 2 \sin^3{x})$

$\tan{4x} = \frac{\sin{4 x}}{\cos{4 x}} = \frac{4 \cos^3{x} \sin{x} - 4 \cos{x} \sin^3{x}}{ \cos^4{x} - 6 \cos^2{x} \sin^2{x} + \sin^4{x}} = \frac{4 \tan{x} - 4 \tan^3{x}}{ 1 - 6 \tan^2{x} + \tan^4{x}}$

$\cot{4 x} = \frac{\cos{4 x}}{\sin{4 x}} = \frac{\cos^4{x} - 6 \cos^2{x} \sin^2{x} + \sin^4{x}}{4 \cos^3{x} \sin{x} - 4 \cos{x} \sin^3{x}}= \frac{\cot^4{x} - 6 \cot^2{x} + 1}{4 \cot^3{x} - 4 \cot{x} }$

Đến đây có lẽ các bạn đã hình dung ra cách tìm công thức lượng giác tổng quát cho góc bội rồi phải không?! Các bạn hãy làm tiếp cho các trường hợp

$n=5,6,7$ nhé. Nhờ những công thức lượng giác góc bội này, các bạn có thể tìm ra được công thức cho

$\sin{\frac{\pi}{7}}$ ,

$\cos{\frac{\pi}{7}}$ ,

$\sin{\frac{\pi}{9}}$ ,

$\cos{\frac{\pi}{9}}$ , v.v...

Kỳ sau chúng ta sẽ quay lại với toán dựng hình, hẹn gặp lại các bạn.

Bài tập về nhà.

1. Tiếp tục tìm các công thức cho

$\sin{nx}$ ,

$\cos{nx}$ ,

$\tan{nx}$ ,

$\cot{nx}$ khi

$n=5,6,7 \dots$ .

2. Tìm công thức cho

$\sin{\frac{\pi}{7}}, \sin{\frac{2 \pi}{7}}, \sin{\frac{3 \pi}{7}}, \dots$

$\cos{\frac{\pi}{7}}, \cos{\frac{2 \pi}{7}}, \cos{\frac{3 \pi}{7}}, \dots$

3. Tìm công thức cho

$\sin{\frac{\pi}{9}}, \sin{\frac{2 \pi}{9}}, \sin{\frac{3 \pi}{9}}, \dots$

$\cos{\frac{\pi}{9}}, \cos{\frac{2 \pi}{9}}, \cos{\frac{3 \pi}{9}}, \dots$

4. Vào trang Google http://google.com để tìm kiếm, học hỏi thêm về đa thức Chebyshev (tìm kiếm bằng từ khoá Chebyshev polynomial), xem thử đa thức Chebyshev có liên quan gì đến công thức lượng giác cho góc bội.

Trang

Công thức lượng giác cho góc bội