Định lý đường cao tam giác vuông



Hôm nay chúng ta sẽ học về Định lý đường cao tam giác vuông và dùng nó để chứng minh Định lý Pitago.




Định lý đường cao tam giác vuông


Chúng ta biết rằng hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có ba cặp góc bằng nhau và ba cặp cạnh tỷ lệ với nhau.

Nếu ai đó hỏi bạn, bạn thích nhất ví dụ nào về tam giác đồng dạng, bạn sẽ trả lời như thế nào?

Đối với tôi, có một ví dụ về tam giác đồng dạng mà tôi rất thích, đó là ví dụ về Định lý đường cao tam giác vuông.

Ví dụ đó là như sau. Bạn hãy vẽ một tam giác vuông $ABC$ (vuông ở đỉnh $B$). Sau đó bạn hãy vẽ đường cao $BH$ để chia hình tam giác $ABC$ thành hai hình tam giác vuông con $BHA$ và $BHC$. Bạn có thấy rằng tam giác mẹ $ABC$ đồng dạng với hai tam giác con $BHA$ và $BHC$ này không?

Các bạn có thể vẽ hình trên giấy rồi dùng kéo cắt các hình tam giác vuông này như sau.

Các bạn hãy nhìn tam giác mẹ $ABC$ và tam giác con $AHB$. Rõ ràng chúng có cặp góc vuông hiển nhiên bằng nhau $\angle B = \angle H = 90^{o}$. Ngoài ra chúng có chung một cặp góc $A$. Vậy chúng có hai cặp góc bằng nhau, cho nên đồng dạng với nhau.
Tỷ lệ giữa các cặp cạnh của hai tam giác $ABC$ và $AHB$: $$\frac{{\bf AB}}{{\bf AH}} = \frac{BC}{HB} = \frac{{\bf AC}}{{\bf AB}}$$ cho chúng ta hằng đẳng thức $$AB^2 = AH \times AC$$

Tỷ lệ giữa các cặp cạnh của tam giác mẹ $ABC$ và tam giác con $BHC$: $$\frac{AB}{BH} = \frac{{\bf BC}}{{\bf HC}} = \frac{{\bf AC}}{{\bf BC}}$$ cho chúng ta hằng đẳng thức $$CB^2 = CH \times CA$$

Tỷ lệ giữa các cặp cạnh của hai tam giác con $AHB$ và $BHC$ $$\frac{{\bf AH}}{{\bf BH}} = \frac{{\bf HB}}{{\bf HC}} = \frac{AB}{BC}$$ cho chúng ta hằng đẳng thức $$HB^2 = HA \times HC$$

Tóm lại, chúng ta có 3 hằng đẳng thức cho tam giác vuông. Chúng ta tạm gọi là đẳng thức bên phảiđẳng thức bên trái và đẳng thức ở giữa. Và đây chính là Định lý đường cao tam giác vuông


Định lý đường cao tam giác vuông:
đẳng thức bên trái $AB^2 = AH \times AC$
đẳng thức bên phải $CB^2 = CH \times CA$
và đẳng thức ở giữa $HB^2 = HA \times HC$



Định lý Pitago


Chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức ở trên để chứng minh Định lý Pitago.

Định lý Pitago: Trong tam giác vuông $ABC$ vuông ở đỉnh $B$ thì $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$



Định lý Pitago nói rằng hai hình vuông nhỏ $ABXY$ và $BCPQ$ có tổng diện tích bằng hình vuông lớn $CAIJ$.
  • Sử dụng hằng đẳng thức bên trái $AB^2 = AH \times AC = AH \times AI$ cho chúng ta thấy hình vuông nhỏ $ABXY$ có diện tích bằng hình chữ nhật $AHMI$.
  • Còn hằng đẳng thức bên phải $CB^2 = CH \times CA = CH \times CJ$ cho chúng ta thấy hình vuông nhỏ $BCPQ$ có diện tích đúng bằng hình chữ nhật $CHMJ$.

Như vậy hình vuông lớn $CAIJ$ rõ ràng bằng tổng của hai hình vuông nhỏ $ABXY$ và $BCPQ$, và định lý Pitago đã được chứng minh.



Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau chúng ta sẽ xem xét vì sao, bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức trong tam giác vuông này, nhà toán học Gauss đã dựng được hình đa giác đều 17 cạnh.

Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.



Bài tập về nhà.

1. Chứng minh rằng nếu hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì cả ba cặp góc của hai tam giác này sẽ bằng nhau.

2. Bạn hãy viết về một ví dụ tam giác đồng dạng mà bạn thích.

3. Nếu bạn đã học về lượng giác, hãy dùng công thức lượng giác để giải thích các hằng đẳng thức hình học ở trên.

4. Cho trước ba đoạn thẳng có độ dài $r$, $r a$ và $r b$. Dùng thước và compa, hãy
  • dựng một đoạn thẳng có độ dài $r (a+b)$
  • dựng một đoạn thẳng có độ dài $r (a-b)$
  • dựng một đoạn thẳng có độ dài $r (ab)$
  • dựng một đoạn thẳng có độ dài $r (a/b)$
  • dựng một đoạn thẳng có độ dài $r \sqrt{ab}$

5. Cho trước một đoạn thẳng có độ dài bằng $r$. Bằng thước và compa, bạn có thể dựng được những đoạn thẳng có độ dài bằng bao nhiêu?

6. Vào google.com để tìm hiểu về các phép dựng hình.





Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét