Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Kỳ trước chúng ta đã học về khái niệm phương tích. Phương tích của một điểm $P$ đến một đường tròn tâm $O$ bán kính $r$ được xác định bởi công thức sau $${\cal P}(P, (O)) = \vec{PU} \times \vec{PV} = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2,$$ ở đây, $U$ và $V$ là hai giao điểm của đường tròn $(O)$ với một đường thẳng bất kỳ đi qua $P$.
Phương tích: ${\cal P}(P, (O)) = \vec{PU} \times \vec{PV} = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2$.

Phương tích cho chúng ta biết được vị trí tương đối của điểm $P$ đối với đường tròn. Nếu phương tích là số dương thì $P$ nằm bên ngoài đường tròn, nếu phương tích là số âm thì $P$ nằm bên trong đường tròn, còn nếu phương tích bằng $0$ thì điểm $P$ nằm trên đường tròn.

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét ứng dụng của phương tích với hai công cụ chính, đó là trục đẳng phươngtâm đẳng phương. Trục đẳng phương thường được dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng, còn tâm đẳng phương thường dùng để chứng minh các đường thẳng đồng quy.


Giả sử chúng ta có hai đường tròn $(O_1, r_1)$ và $(O_2, r_2)$ cắt nhau tại hai điểm $I$ và $J$ như hình vẽ sau đây. Nếu $P$ là một điểm nằm trên đường thẳng $IJ$ thì rõ ràng phương tích của $P$ đến hai đường tròn này là bằng nhau $${\cal P}(P, (O_1)) = \vec{PI} \times \vec{PJ} = {\cal P}(P, (O_2)).$$

Nếu chúng ta quan sát kỹ một chút sẽ thấy rằng khi điểm $P$ không nằm trên đường thẳng $IJ$ thì phương tích của $P$ đến hai đường tròn sẽ không bằng nhau. Chẳng hạn như ở hình vẽ sau, chúng ta có $${\cal P}(P, (O_1)) = \vec{PI} \times \vec{PA} \neq \vec{PI} \times \vec{PB} = {\cal P}(P, (O_2)).$$

Như vậy trong trường hợp này chúng ta thấy rằng phương tích của điểm $P$ đến hai đường tròn là bằng nhau khi và chỉ khi điểm $P$ nằm trên đường thẳng $IJ$. 


Bây giờ chúng ta xem xét một trường hợp khác. Giả sử hai đường tròn $(O_1, r_1)$ và $(O_2, r_2)$ không cắt nhau. Làm thế nào để chúng ta tìm được điểm $P$ có cùng phương tích đến hai đường tròn này?

Có một cách khá là đơn giản như sau. Mời các bạn lấy thước và compa vẽ cùng tôi nhé. Các bạn hãy vẽ một đường tròn $(O)$ sao cho đường tròn này cắt đường tròn $(O_1)$ tại hai điểm $A$, $B$, và cắt đường tròn $(O_2)$ tại hai điểm $C$, $D$. Các bạn lấy giao điểm $P$ của hai đường thẳng $AB$ và $CD$.


Như đã nói ở trên, vì $P$ nằm trên đường thẳng $AB$ nên $P$ có phương tích đến $(O)$ và $(O_1)$ bằng nhau. Vì $P$ nằm trên đường thẳng $CD$ nên $P$ có phương tích đến $(O)$ và $(O_2)$ bằng nhau. Từ đó suy ra phương tích của $P$ đến hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ là bằng nhau!

Các bạn hãy vẽ thật nhiều đường tròn $(O)$ ở những vị trí khác nhau, rồi quan sát xem vị trí của giao điểm $P$ thay đổi như thế nào. Các bạn đã nhận ra quy luật gì chưa? Đó là các giao điểm $P$ dao động trên một đường thẳng!

Vậy quỹ tích tất cả các điểm $P$ sao cho phương tích của $P$ đến hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ bằng nhau là một đường thẳng. Đường thẳng này chúng ta gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$.



Trục đẳng phương

Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu định lý về trục đẳng phương. Có nhiều cách để chứng minh định lý này. Chúng ta sẽ trình bày hai cách chứng minh. Cách chứng minh thứ nhất sử dụng vectơ, còn cách chứng minh thứ hai sử dụng hệ trục toạ độ.

Định lý về trục đẳng phương. Cho hai đường tròn $(O_1, r_1)$ và $(O_2, r_2)$ có tâm là hai điểm khác nhau ($O_1 \neq O_2$). Vậy thì quỹ tích tất cả các điểm $P$ sao cho phương tích của $P$ đến hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ bằng nhau là một đường thẳng. Đường thẳng này gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$. Trục đẳng phương vuông góc với đường thẳng $O_1 O_2$ nối hai tâm của đường tròn.

Sử dụng công thức phương tích $${\cal P}(P, (O_1)) = PO_1^2 - r_1^2,$$ $${\cal P}(P, (O_2)) = PO_2^2 - r_2^2,$$ chúng ta thấy rằng việc tìm quỹ tích điểm $P$ để $${\cal P}(P, (O_1)) = {\cal P}(P, (O_2))$$ chính là bài toán tìm quỹ tích điểm $P$ để hiệu của bình phương khoảng cách từ $P$ đến hai tâm $O_1$ và $O_2$ là một hằng số $$PO_2^2 - PO_1^2 = r_2^2 - r_1^2 = c.$$


Cách chứng minh sử dụng vectơ. $$c = PO_2^2 - PO_1^2 = (\vec{PO_2} + \vec{PO_1})(\vec{PO_2} - \vec{PO_1}) = 2 \vec{PM} ~\vec{O_1 O_2},$$ ở đây $M$ là trung điểm của $O_1 O_2$. 

Hạ đường vuông góc $PH$ xuống đường thẳng $O_1 O_2$, chúng ta có $$c = PO_2^2 - PO_1^2 = 2 \vec{PM} ~\vec{O_1 O_2} = 2 (\vec{PH} + \vec{HM}) \vec{O_1 O_2} = 2 \vec{HM} ~\vec{O_1 O_2}.$$
Suy ra điểm $H$ là một điểm cố định trên đường thẳng $O_1 O_2$ xác định bởi công thức $$\overline{HM} = \frac{c}{2 \overline{O_1 O_2}}.$$
Vậy quỹ tích của $P$ là đường thẳng đi qua điểm $H$ vuông góc với $O_1 O_2$, và định lý đã được chứng minh.


Cách chứng minh sử dụng toạ độ. $$c = PO_2^2 - PO_1^2 = [(P_x - O_{2x})^2 + (P_y - O_{2y})^2] - [(P_x - O_{1x})^2 + (P_y - O_{1y})^2]$$ $$= 2(O_{1x} - O_{2x}) P_x + 2(O_{1y} - O_{2y}) P_y + (O_{2x}^2 + O_{2y}^2 - O_{1x}^2 - O_{1y}^2)$$

Vậy quỹ tích của $P$ là đường thẳng có phương trình $$(O_{1x} - O_{2x}) x + (O_{1y} - O_{2y}) y + \frac{1}{2}(O_{2x}^2 + O_{2y}^2 - O_{1x}^2 - O_{1y}^2 - c) = 0.$$
So sánh hệ số góc, chúng ta thấy đường thẳng này vuông góc với đường thẳng $O_1 O_2$. Vậy định lý đã được chứng minh.


Như vậy chúng ta đã trình bày xong hai cách chứng minh định lý về trục đẳng phương. Trục đẳng phương của hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ là một đường thẳng vuông góc với đường nối hai tâm $O_1 O_2$. Nếu hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau thì trục đẳng phương chính là đường thẳng nối hai giao điểm.

Sử dụng công cụ trục đẳng phương chúng ta có thể chứng minh về các điểm thẳng hàng. Ví dụ, để chứng minh một vài điểm nào đó thẳng hàng, chúng ta sẽ chứng minh rằng các điểm này có cùng phương tích đến hai đường tròn nào đó, từ đó suy ra các điểm này nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn và vì vậy chúng thẳng hàng.


Tâm đẳng phương


trên, chúng ta đã học về trục đẳng phương của hai đường tròn. Một điểm nằm trên trục đẳng phương sẽ có phương tích đến hai đường tròn bằng nhau. Bây giờ, tương tự như vậy, nếu chúng ta có ba đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ và $(O_3)$, thì tâm đẳng phương của ba đường tròn này là một điểm có phương tích đến ba đường tròn bằng nhau.

Chúng ta hãy cùng phân tích. Giả sử điểm $P$ có phương tích bằng nhau đến ba đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ và $(O_3)$ $${\cal P}(P, (O_1)) = {\cal P}(P, (O_2)) = {\cal P}(P, (O_3)).$$

Rõ ràng, vì $P$ có cùng phương tích đến $(O_1)$ và $(O_2)$ cho nên $P$ phải nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$. Lý luận tương tự, $P$ phải nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn $(O_2)$ và $(O_3)$, và $P$ phải nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn $(O_3)$ và $(O_1)$. Chứng tỏ ba trục đẳng phương này đồng quy ở điểm $P$.

Từ định lý về trục đẳng phương, chúng ta biết rằng trục đẳng phương vuông góc với đường thẳng nối hai tâm. Vậy nếu các tâm đường tròn $O_1$, $O_2$, $O_3$ thẳng hàng thì ba trục đẳng phương đều vuông góc với đường thẳng $O_1 O_2 O_3$. Ở trường hợp này ba trục đẳng phương sẽ song song với nhau.

Chúng ta phát biểu định lý về tâm đẳng phương.
Định lý về tâm đẳng phương. Cho ba đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ và $(O_3)$ có tâm là ba điểm khác nhau. 
  • Nếu ba điểm $O_1$, $O_2$, $O_3$ thẳng hàng thì ba trục đẳng phương của các cặp đường tròn $\{(O_1), (O_2)\}$, $\{(O_2), (O_3)\}$ và $\{(O_3), (O_1)\}$ song song với nhau;
  • Nếu ba điểm $O_1$, $O_2$, $O_3$ không thẳng hàng thì ba trục đẳng phương của các cặp đường tròn $\{(O_1), (O_2)\}$, $\{(O_2), (O_3)\}$ và $\{(O_3), (O_1)\}$ đồng quy tại một điểm gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. Tâm đẳng phương có phương tích đến ba đường tròn bằng nhau.


Ứng dụng

Sử dụng công cụ trục đẳng phương chúng ta có thể chứng minh về các điểm thẳng hàng. Để chứng minh một vài điểm nào đó thẳng hàng, chúng ta sẽ chứng minh rằng các điểm này có cùng phương tích đến hai đường tròn nào đó, từ đó suy ra các điểm này nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn.

Tương tự, để chứng minh các đường thẳng đồng quy, chúng ta chứng minh các đường thẳng này là các trục đẳng phương của một số cặp đường tròn rồi từ đó suy ra chúng đồng quy tại tâm đẳng phương.



Chúng ta xem xét một vài bài toán.

Bài toán 1. Cho tam giác $ABC$. Dựng ra bên ngoài tam giác $ABC$ ba tam giác cân $BA'C$, $CB'A$ và $AC'B$ mà cạnh đáy lần lượt là $BC$, $CA$ và $AB$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$, $B$, $C$ lần lượt vuông góc với $B'C'$, $C'A'$, $A'B'$ đồng quy.

Lời giải.

Qua tâm $A'$ vẽ đường tròn đi qua hai điểm $B$ và $C$. Qua tâm $B'$ vẽ đường tròn đi qua hai điểm $C$ và $A$. Qua tâm $C'$ vẽ đường tròn đi qua hai điểm $A$ và $B$.

Vậy thì đường thẳng qua $A$ vuông góc với $B'C'$ chính là trục đẳng phương của hai đường tròn $(B')$ và $(C')$. Tương tự thì đường thẳng qua $B$ vuông góc với $C'A'$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $(C')$ và $(A')$, và đường thẳng qua $C$ vuông góc với $A'B'$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $(A')$ và $(B')$. Từ đó suy ra ba đường thẳng này đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn $(A')$, $(B')$, $(C')$, và bài toán đã được chứng minh.



Bài toán 2 (Đề thi Toán Quốc tế 1995). Cho bốn điểm khác nhau $A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự này. Hai đường tròn có đường kính là $AC$ và $BD$ cắt nhau tại hai điểm $X$ và $Y$. Đường thẳng $XY$ cắt $BC$ tại điểm $Z$. Giả sử $P$ là một điểm khác $Z$ nằm trên đường thẳng $XY$. Đường thẳng $CP$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại hai điểm là $C$ và $M$. Đường thẳng $BP$ cắt đường tròn đường kính $BD$ tại hai điểm là $B$ và $N$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AM$, $DN$, $XY$ đồng quy.

Lời giải.

Để chứng minh ba đường thẳng $AM$, $DN$, $XY$ đồng quy, chúng ta gọi $T$ là giao điểm của $AM$ và $XY$ rồi chứng minh điểm $T$ nằm trên đường thẳng $DN$.

Vì $T$ nằm trên $XY$ nên $T$ có cùng phương tích đến hai đường tròn đường kính $BD$ và $AC$.
Vì $T$ nằm trên $AM$ nên $T$ có cùng phương tích đến hai đường tròn đường kính $AC$ và $AP$.
Vì $T$ nằm trên $PZ$ nên $T$ có cùng phương tích đến hai đường tròn đường kính $AP$ và $DP$.

Suy ra $T$ có cùng phương tích đến hai đường tròn đường kính $BD$ và $DP$. Đường thẳng $DN$ là trục đẳng phương của hai đường tròn này vì vậy $T$ nằm trên đường thẳng $DN$. Vậy bài toán đã được chứng minh.



Hôm nay chúng ta đã học thêm về phương tích, về trục đẳng phương của hai đường tròn và tâm đẳng phương của ba đường tròn. Chúng ta tạm dừng ở đây, hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau, chúng ta sẽ dùng phương tích để chứng minh định lý Pascal cho trường hợp đường tròn.



Bài tập về nhà.

1. Sử dụng định lý Pitago để tìm quỹ tích các điểm $P$ thoã mãn  $$PO_2^2 - PO_1^2 = c.$$ (Gợi ý: Hạ đường vuông góc $PH$ xuống đường thẳng $O_1 O_2$ rồi sử dụng định lý Pitago.)


2. Giả sử $A_1 A_2$, $B_1 B_2$, $C_1 C_2$, $D_1 D_2$ là các tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ như hình vẽ sau. Chứng minh rằng các trung điểm $A$, $B$, $C$, $D$ của $A_1 A_2$, $B_1 B_2$, $C_1 C_2$, $D_1 D_2$ thẳng hàng.

3. Cho hình vuông $ABCD$, lấy bốn đỉnh của hình vuông làm tâm vẽ bốn đường tròn cùng bán kính như hình vẽ sau. Lấy một điểm $P$ nằm bên ngoài bốn đường tròn này rồi vẽ hai đường thẳng qua $P$. Đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn $(A)$ tại hai điểm $A_1$, $A_2$, và cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm $C_1$, $C_2$. Đường thẳng thứ nhì cắt đường tròn $(B)$ tại hai điểm $B_1$, $B_2$, và cắt đường tròn $(D)$ tại hai điểm $D_1$, $D_2$. Chứng minh rằng $$PA_1 \times PA_2 + PC_1 \times PC_2 = PB_1 \times PB_2 + PD_1 \times PD_2.$$

4. (Đề thi Toán Quốc tế 2000). Giả sử $AB$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CAMN$ và $NMBD$, điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $CD$, và $CD$ song song với $AB$. Hai đoạn thẳng $NA$ và $CM$ cắt nhau tại điểm $P$ và hai đoạn thẳng $NB$ và $MD$ cắt nhau tại điểm $Q$. Hai tia $CA$ và $DB$ cắt nhau tại điểm $E$. Chứng minh rằng $PE = QE$.

Gợi ý:
  • Chứng minh $NM$ cắt $AB$ tại trung điểm của $AB$
  • Chứng minh $M$ là trung điểm của $PQ$
  • Chứng minh $AB$ là đường trung bình của tam giác $ECD$
  • Chứng minh $EM$ vuông góc với $CD$
  • Chứng minh $EPQ$ là tam giác cân







Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét