Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp


Hôm nay chúng ta sẽ xem xét hai bài toán mà mới nhìn vào thì chúng ta thấy chúng có vẻ không liên quan gì đến nhau. Bài thứ nhất là một bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất còn bài thứ hai thì về tính chất của đường tiếp tuyến hình elip.

Trước hết chúng ta xem xét về hình elip. Hình elip là hình sau đây.


với mọi điểm $P$ trên hình elip thì $PF_1 + PF_2 = \ell$


Muốn vẽ một hình elip, chúng ta cần hai điểm $F_1$ và $F_2$, gọi là hai tiêu điểm của đường elip, và một độ dài $\ell$. Các điểm trên hình elip có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm bằng $\ell$. Tức là, với mọi điểm $P$ trên hình elip thì $PF_1 + PF_2 = \ell$.

Sau đây là một dụng cụ vẽ hình elip làm từ một miếng giấy bìa cứng và một sợi chỉ.




tạo dụng cụ vẽ hình elip


vẽ hình elip

Giới thiệu xong về hình elip, bây giờ, chúng ta xem xét bài toán thứ nhất. Ở đây chúng ta có một đường thẳng $t$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $t$. Câu hỏi là tìm một điểm $M$ nằm trên đường thẳng $t$ sao cho khoảng cách đi từ điểm $A$ đến điểm $M$ rồi quay lại điểm $B$ là ngắn nhất.
Tìm điểm $M$ sao cho $MA + MB$ là ngắn nhất


Bài toán 1: Cho một đường thẳng $t$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $t$. Tìm điểm $M$ nằm trên đường thẳng $t$ sao cho $MA + MB$ có giá trị nhỏ nhất.



Bạn có đoán được điểm $M$ là điểm nào không? Tôi thì đoán là có ba khả năng. Có thể $M$ là điểm $A'$ do $A$ hạ vuông góc xuống đường thẳng $t$, cũng có thể là $B'$, hoặc có thể là một điểm $C$ nào đó nằm lưng chừng giữa $A'$ và $B'$ như hình dưới đây.

ba dự đoán: $A'$, $B'$, hoặc là $C$ nằm đâu đó ở lưng chừng

Chúng ta có thể lấy thước ra và đo xem thử trong ba khoảng cách sau
  • $A'A+ A'B$  
  • $B'A + B'B$ 
  • $CA + CB$
khoảng cách nào là nhỏ nhất.


Bạn đo xong chưa? Kết quả như thế nào? Trong ba khoảng cách trên, tôi đo thấy $CA + CB$ là nhỏ nhất. Nhưng cụ thể điểm $C$ phải nằm ở vị trí nào giữa hai điểm $A'$ và $B'$ để $CA + CB$ là nhỏ nhất?

Bây giờ chúng ta phân tích theo hướng khác. Giả sử như chúng ta đã tìm ra được điểm $M$ để $MA + MB$ là nhỏ nhất, và giá trị nhỏ nhất đó là $MA + MB = \ell$. Chúng ta vẽ hình elip đi qua điểm $M$ mà hai tiêu điểm là $A$ và $B$ như hình dưới đây. Như vậy chúng ta có:
  • mọi điểm $P$ trên hình elip thì $PA + PB = MA + MB = \ell$;
  • trong khi đómọi điểm $P$ nằm trên đường thẳng $t$ thì $PA + PB \geq MA + MB = \ell$.
nếu $P$ nằm trên đường elip thì $PA+PB=\ell$, nếu $P$ nằm trên đường thẳng $t$ thì $PA+PB \geq \ell$

Từ đây chúng ta kết luận rằng hình elip sẽ phải tiếp xúc với đường thẳng $t$ tại điểm $M$.Vì sao vậy? Đó là bởi vì nếu hình elip mà không tiếp xúc với đường thẳng $t$ thì đường elip sẽ cắt đường thẳng $t$ tại hai điểm $M$ và $N$. Chúng ta chỉ cần lấy một điểm $X$ nằm bất kỳ giữa $M$ và $N$ như hình dưới đây thì chúng ta sẽ có
$$XA + XB < XA + XU + UB = AU + UB = \ell = MA + MB.$$
Như vậy $XA + XB < MA + MB$, mâu thuẫn với giả thiết rằng $MA + MB$ là nhỏ nhất.

nếu hình elip không tiếp xúc với $t$ thì chúng ta sẽ tìm ra được một điểm $X$ tốt hơn là điểm $M$ 
Nói tóm lại, mặc dù chúng ta chưa biết được điểm cần tìm $M$ nằm ở đâu trên đường thẳng $t$, nhưng chúng ta đã suy luận được rằng nếu chúng ta tìm ra được điểm $M$ để $MA + MB$ là ngắn nhất thì hình elip đi qua điểm $M$ và có tiêu điểm $A$ và $B$ sẽ phải tiếp xúc với đường thẳng $t$. Chúng ta gọi $t$ là một đường tiếp tuyến của hình elip tại điểm $M$.
nếu $MA + MB$ là ngắn nhất thì $t$ sẽ là đường tiếp tuyến của hình elip 


Đến đây chúng ta vẫn chưa biết cách nào để xác định được điểm $M$. Chúng ta thử xem các trường hợp đặc biệt xem sao. Ví dụ nếu điểm $B$ nằm trên đường thẳng $t$ thì điểm $M$ cần tìm chính là $M=B$. Chúng ta cũng thấy rằng nếu điểm $B$ nằm rất gần đường thẳng $t$ thì điểm $M$ cần tìm cũng phải nằm rất gần điểm $B$ để cho $MA + MB$ là bé nhất.
nếu $B$ nằm gần đường thẳng $t$ thì $M$ cũng nằm gần $B$ để $MA + MB$ là bé nhất 



Mặc dù bài toán yêu cầu rằng hai điểm $A$ và $B$ nằm cùng một phía với đường thẳng $t$, nhưng chúng ta thử tưởng tượng xem nếu điểm $B$ nằm về phía bên kia của đường thẳng thì sẽ như thế nào? Rõ ràng nếu $B$ nằm phía bên kia của đường thẳng thì $MA + MB$ sẽ là nhỏ nhất nếu $M$ chính là giao điểm của $AB$ với đường thẳng $t$.

Nếu $B$ nằm phía bên kia thì $MA + MB$ sẽ là nhỏ nhất nếu $M$ là giao điểm của $AB$ với đường thẳng $t$

Đến đây chúng ta bỗng phát hiện ra cách giải quyết bài toán. Chúng ta sẽ tạo ra một điểm $K$ nằm ở phía bên kia của đường thẳng sao cho $K$ và $B$ có vai trò như nhau. Như vậy, $K$ chính là điểm đối xứng của $B$ qua đường thẳng $t$. Với mọi điểm $P$ nằm trên đường thẳng $t$ thì $PB = PK$. Như vậy thì $PA + PB = PA + PK$ và $PA + PK$ là ngắn nhất khi $P$ chính là giao điểm của $AK$ với đường thẳng $t$. Bài toán đã được giải quyết.

$PA + PB = PA + PK$

Lời giải bài toán 1: Gọi $K$ là điểm đối xứng của $B$ qua đường thẳng $t$. Với mọi điểm $P$ nằm trên đường thẳng $t$ chúng ta có $PB = PK$ và vì vậy $PA + PB = PA + PK \geq AK$. Vậy điểm $M$ cần tìm để $MA + MB$ có giá trị nhỏ nhất là giao điểm của $AK$ và đường thẳng $t$.



Bây giờ chúng ta làm bài toán khác.

Bài toán 2: Cho một hình elip có hai tiêu điểm là $A$ và $B$. Qua điểm $M$ nằm trên hình elip, vẽ một đường tiếp tuyến với hình elip như hình sau. Chứng minh rằng $\angle xMA = \angle yMB$.





Nhờ vào bài toán 1, chúng ta giải bài toán 2 một cách dễ dàng. Thậm chí chúng ta không cần dùng công thức của hình elip cũng như không cần biết công thức của đường tiếp tuyến.

Lời giải bài toán 2: Xem hình dưới đây, như nhận xét ở trên khi chúng ta giải bài toán 1, điểm tiếp xúc $M$ giữa đường thẳng và hình elip chính là điểm $M$ nằm trên đường thẳng sao cho $MA + MB$ có giá trị bé nhất. Lấy điểm đối xứng $K$ của $B$ qua đường thẳng, chúng ta biết rằng $M$ chính là giao điểm của $AK$ với đường thẳng. Vì vậy chúng ta có $\angle yMB = \angle yMK = \angle xMA$. Và bài toán đã được chứng minh.



Đến đây chúng ta tạm dừng. Chúng ta thấy rằng, bằng cách suy nghĩ phân tích một bài toán, đôi khi chúng ta phát hiện ra những tính chất thú vị mà không liên quan gì đến bài toán ban đầu. Ví dụ như bài toán số 1 ở trên về tìm khoảng cách ngắn nhất, bằng cách phân tích nó, chúng ta lại phát hiện ra một tính chất thú vị về đường tiếp tuyến của hình elip.

Nếu bạn đã học về hình elip và biết cách viết phương trình hình elip và phương trình đường tiếp tuyến, bài tập về nhà cho bạn sẽ là chứng minh trực tiếp tính chất đường tiếp tuyến mà chúng ta đã nêu ra ở bài toán 2.




Bài tập về nhà.

1. Cho một góc $xOy$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm bên trong góc đó. Tìm trên tia $Ox$ một điểm $X$ và trên tia $Oy$ một điểm $Y$ sao cho $AX + XY + YB$ là nhỏ nhất.


2. Cho tam giác $ABC$. Tìm điểm $M$ sao cho $MA + MB + MC$ có giá trị nhỏ nhất.











Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét