Dùng compa chia đều đoạn thẳng


Bằng cách dùng thước kẻ và compa, chúng ta có thể dựng được trung điểm của một đoạn thẳng, hay có thể chia đoạn thẳng ra thành ba phần bằng nhau. Câu hỏi đặt ra là, liệu chúng ta có thể dựng trung điểm của một đoạn thẳng, hay chia đều một đoạn thẳng cho trước ra thành nhiều phần bằng nhau, bằng cách chỉ dùng compa mà không dùng thước hay không. Câu trả lời là có thể! Thật là thú vị phải không các bạn?!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau xem xét cách dựng hình này. Chúng ta sẽ thấy rằng không cần dùng thước kẻ, chúng ta vẫn có thể tìm được trung điểm của một đoạn thẳng, và có thể chia đều một đoạn thẳng ra thành nhiều phần bằng nhau. Các bạn đã sẵn sàng chưa, chúng ta cùng bắt đầu nhé.



Các phép dựng hình cơ bản bằng thước kẻ và compa

Trước tiên, chúng ta cùng ôn lại các phép dựng hình bằng thước kẻ và compa. Ở bài trước, chúng ta đã học về các bước dựng hình cơ bản. Khi giải các bài toán dựng hình, chúng ta thừa nhận và dùng các bước dựng hình cơ bản này mà không cần phải giải thích cụ thể. Các bước dựng hình cơ bản đó là:
  • Dựng đường trung trực và trung điểm của một đoạn thẳng




  • Qua một điểm, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng




  • Qua một điểm, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng





  • Dựng đường phân giác của một góc




  • Dựng một góc bằng một góc cho trước




  • Qua một điểm, dựng đường tiếp tuyến đến đường tròn



Các bạn có thể đọc lại về các phép dựng hình cơ bản bằng thước kẻ và compa ở đây.

Một ví dụ đơn giản về phép dựng hình bằng thước kẻ và compa đó là làm cách nào để chia đều một đoạn thẳng cho trước thành nhiều phần bằng nhau. Chẳng hạn, cho trước đoạn thẳng $AB$, làm cách nào để chia đều đoạn thẳng $AB$ thành ba phần bằng nhau.

Cách dựng là như sau: Qua $A$ vẽ một tia bất kỳ và dùng compa dựng các điểm $C_1$, $C_2$, $C_3$ bất kỳ trên tia này thoã mãn $AC_1 = C_1C_2=C_2C_3$. Nối $BC_3$. Dựng các đường thẳng lần lượt qua $C_1$, $C_2$ song song với $BC_3$ và cắt $AB$ tại các điểm $D_1$, $D_2$. Chúng ta sẽ có $AD_1 = D_1D_2=D_2B$.

Bây giờ chúng ta xem xét phép dựng hình mà chỉ cần dùng compa.

Dựng hình chỉ bằng compa

Trong toán học có một định lý đặc biệt gọi là Định lý Mohr-Mascheroni. Định lý này nói rằng bất kỳ điểm nào dựng được bằng thước kẻ và compa thì cũng có thể dựng được chỉ bằng compa. Có nghĩa là thước kẻ trong dựng hình là không cần thiết.

Định lý Mohr-Mascheroni. Bất kỳ điểm nào dựng được bằng thước kẻ và compa thì cũng có thể dựng được chỉ bằng cách dùng compa.

Như vậy theo Định lý Mohr-Mascheronichỉ cần bằng compa, chúng ta có thể nhân gấp bội lần một đoạn thẳng, và chúng ta có thể chia đều một đoạn thẳng cho trước.


Nhân gấp bội lần một đoạn thẳng bằng compa

Bài toán. Cho trước hai điểm A và B, chỉ dùng compa, dựng điểm C trên đường thẳng AB sao cho $$AC = AB \times 3.$$

Nếu chúng ta dùng compa để vẽ đường tròn có tâm là A và đi qua B, và một đường tròn khác có tâm là B đi qua A, thì hai đường tròn sẽ cắt nhau tại hai điểm X và Y, và chúng ta đã tạo ra hai tam giác đều là ABX và ABY. Nếu chúng ta tiếp tục dựng hình như vậy thì chúng ta sẽ dựng được một lưới điểm tam giác đều. Vậy bài toán nhân gấp bội lần một đoạn thẳng bằng compa dễ dàng được giải quyết.



Chia đều một đoạn thẳng bằng compa

Bài toán. Cho trước hai điểm A và B, chỉ dùng compa, dựng điểm D trên đường thẳng AB sao cho $$AD = AB / 3$$.

Chúng ta thấy hai điểm C và D có vẻ đối nghịch nhau. Một bên là $$AC = AB \times 3$$ còn bên kia là $$AD = AB / 3$$
Đây gọi là phép nghịch đảo, khi nào có dịp thuận tiện, chúng ta sẽ học về phép nghịch đảo này.

Bởi vì nghịch đảo như vậy nên $$AC \times AD = AB^2$$

Đẳng thức nghịch đảo như vậy thường được tạo ra nhờ vào tam giác đồng dạng.

Nếu P là một điểm bất kỳ sao cho AP = AB thì chúng ta sẽ có hai tam giác đồng dạng là ADP và APC. Đó là vì hai tam giác này có chung góc A và có cặp cạnh tỷ lệ $$\frac{AD}{AP} = \frac{AP}{AC}.$$

Vì P có thể chọn một cách bất kỳ nên chúng ta sẽ cho P nằm vào một vị trí đẹp. Chúng ta sẽ chọn điểm P sao cho hai tam giác ADP và APC trở thành tam giác cân. Đó là $$PA = PD, ~~~~~~ CP = CA$$


Vì $AP = AB$ và $CP = CA$ nên điểm P chính là giao điểm của đường tròn tâm A bán kính AB và đường tròn tâm C bán kính CA. Vậy bằng cách dùng compa chúng ta dựng được điểm P.

Chúng ta lại có PD = PA = AB, như vậy điểm D nằm trên đường tròn tâm P bán kính AB. Vì tính đối xứng, chúng ta sẽ dựng được điểm D. Cách dựng là như sau:

  • Dựng đường tròn tâm A bán kính AB và đường tròn tâm C bán kính CA, hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm P và Q.
  • Dựng đường tròn tâm P bán kính AB và đường tròn tâm Q bán kính AB, hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm A và D.


Vậy chỉ cần dùng compa mà không cần dùng thước kẻ, chúng ta đã dựng được điểm D. Chúng ta tạm dừng ở đây. Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.



Bài tập về nhà.

1. Cho trước ba điểm A, B, và C, chỉ dùng compa, dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2. Cho trước ba điểm A, B, và C, chỉ dùng compa, dựng đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

3. Vào trang google.com để tìm kiếm các bài viết về phép nghịch đảo trong hình học.




1 nhận xét:

  1. Cách dựng tâm ngoại tiếp là thế nào ad nhỉ?

    Trả lờiXóa