modulo - Phần 4


Nếu nói về những nhà toán học nổi tiếng qua mọi thời đại thì cần phải nhắc đến Pierre de Fermat. Chúng ta đọc tên ông trong tiếng Việt là Fẹcma. Ông là nhà toán học người Pháp, sống vào thời thế kỷ thứ 17.


Nếu nói về ông thì phải nhắc đến bài toán Fermat của ông. Bài toán đã từng làm điên đầu cho những nhà toán học cỡ hàng đầu thế giới cho đến những em học sinh phổ thông. Cái lý do mà bài toán này có quá nhiều người biết đến, cũng như có quá nhiều người đủ mọi lứa tuổi tham gia giải, là vì nó được phát biểu rất đơn giản, một em học sinh cấp 2 là đã có thể hiểu được.

Bài toán Fermat là như sau. Chứng minh rằng với mọi số $n \geq 3$ thì phương trình sau không có nghiệm
$$
x^n+y^n=z^n
$$

Nghiệm ở đây là nghiệm khác không vì chỉ cần $x$, $y$ hay $z$ bằng 0 thì phương trình trở thành tầm thường rồi.


Fermat thật ra không phải là nhà toán học chuyên nghiệp. Ông là một luật sư và ông chỉ làm toán cho vui. Ông không có xuất bản công trình của mình. Những phát minh về toán học của ông mà chúng ta biết được ngày hôm nay thật ra là từ những thư từ ông trao đổi với các bạn bè của ông thời đó, cũng như những ghi chép ngẫu nhiên của ông trong những quyển sách mà ông đã đọc. Sau này khi ông qua đời thì con trai ông mới sưu tầm lại những thư từ cũng như những ghi chép này và cho xuất bản nó.


Bài toán trên được ông ghi lại trên lề một quyển sách, và ông ghi thêm là ông đã tìm ra được một lời giải tuyệt đẹp nhưng lề sách "không đủ chổ" để ông viết ra. Thực hư thế nào thì đến giờ vẫn là một bí mật không ai dám chắc cả. Chỉ biết rằng bài toán đã làm điên đầu biết bao nhiêu thế hệ những nhà toán học. Phải mất đến hơn 350 năm thì cuối cùng nó mới được giải quyết. Người cuối cùng giải được nó là nhà toán học người Anh Andrew Wiles. Năm 1993, Wiles công bố lời giải, nhưng sau đó các nhà toán học đã phát hiện ra trong lời giải của ông có mắc sai lầm, và phải đến một năm sau, 1994, thì ông và một người học trò mới sửa được lỗi và giải quyết được hoàn toàn bài toán. Lời giải này dài mấy trăm trang và dùng những công cụ toán học hiện đại nhất. Nếu có thể dịch lời giải ra ngôn ngữ toán sơ cấp của thời Fermat thì chắc là lời giải phải dài cỡ vài nghìn trang. Vì vậy "lề sách không đủ chỗ" thật ra là một lý do chính đáng!



rất tiếc là lề sách không đủ chỗ!




Có lẽ bạn đọc sẽ thắc mắc là theo như bài toán Fermat thì phương trình $x^n + y^n = z^n$ không có nghiệm khi $n \geq 3$, vậy thì trường hợp $n=2$ thì sao? Phương trình $x^2 + y^2 = z^2$ có nghiệm hay không? Câu trả lời là, phương trình này không những là có nghiệm mà còn có vô số nghiệm. Nghiệm của nó được mô tả bởi hằng đẳng thức sau:
$$
(a^2-b^2)^2 + (2ab)^2 = (a^2+b^2)^2
$$


Fermat chứng minh được rất nhiều kết quả đẹp trong số học liên quan đến số nguyên tố. Định lý Fermat "nhỏ" được phát biểu như sau. Với mọi số nguyên tố $p$, và mọi số $a$ không chia hết cho $p$ thì $a^{p-1} = 1 \pmod{p}$. Chúng ta sẽ chứng minh định lý này vào kỳ sau.

Chúng ta biết rằng một số bất kỳ thì sẽ bằng 0, 1, 2, hoặc 3 modulo 4. Nếu $x = 0 \pmod{4}$ thì $x$ chia hết cho 4. Nếu $x = 2 \pmod{4}$ thì $x$ là số chẳn. Như vậy một số nguyên tố lẻ bất kỳ sẽ hoặc là bằng 1, hoặc là bằng 3 modulo 4. Hay nói cách khác, một số nguyên tố lẻ bất kỳ thì hoặc là có dạng $4k+1$ hoặc là có dạng $4k+3$. Fermat đã chứng minh rằng nếu số nguyên tố $p=4k+1$ thì $p$ sẽ viết được dưới dạng $p=a^2 + b^2$. Còn nếu số nguyên tố $p=4k+3$ thì sẽ không tồn tại $a,b$ để $p=a^2 + b^2$.

Ví dụ:
  • $p = 5 = 1 \pmod{4}$ thì $p = 5 = 1 + 4 = 1^2 + 2^2$
  • $p = 7 = 3 \pmod{4}$ thì $p = 7 \neq a^2 + b^2$.
  • $p = 11 = 3 \pmod{4}$ thì $p = 11 \neq a^2 + b^2$.
  • $p = 13 = 1 \pmod{4}$ thì $p = 13 = 4 + 9 = 2^2 + 3^2$.
  • $p = 17 = 1 \pmod{4}$ thì $p = 17 = 1 + 16 = 1^2 + 4^2$.
  • $p = 19 = 3 \pmod{4}$ thì $p = 19 \neq a^2 + b^2$.
  • $p = 23 = 3 \pmod{4}$ thì $p = 23 \neq a^2 + b^2$.
  • $p = 29 = 1 \pmod{4}$ thì $p = 29 = 4 + 25 = 2^2 + 5^2$.


Chúng ta để dành trường hợp $p=4k+1$ vào dịp khác. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh trường hợp $p = 4k+3$. Chúng ta sẽ xem vì sao mà khi $p = 3 \pmod{4}$ thì $p \neq a^2 + b^2$.

Chúng ta sẽ xem xét $n^2 \pmod{4}$. Chúng ta biết rằng một số $n$ bất kỳ thì  
$$n = 0, 1, 2, 3 \pmod{4}$$
vì vậy 
$$n^2 = 0^2, 1^2, 2^2, 3^2 = 0, 1, 4, 9 = 0, 1 \pmod{4}$$
Tóm lại, $n^2 = 0$ hoặc $1 \pmod{4}$.

Như vậy $a^2 = 0, 1 \pmod{4}$. Và $b^2 = 0, 1 \pmod{4}$. Vậy $a^2 + b^2=0, 1, 2 \pmod{4}$. Trong khi đó $p = 3 \pmod{4}$, như vậy thì $p$ không thể nào bằng $a^2 + b^2$.

Vậy chúng ta vừa chứng minh xong một tính chất rất đẹp là nếu $p = 4k+3$ thì $p \neq a^2 + b^2$. Cách chứng minh này chỉ sử dụng một tính chất về modulo đơn giản là với mọi $n$ thì $n^2 = 0$ hoặc $1 \pmod{4}$.



Lưu ý: Xin nhắc lại với các bạn một lời nhận xét ở kỳ trước là khi dùng modulo đôi khi số âm sẽ rất tiện lợi. Ví dụ như ở trên đây, bởi vì modulo 4 là số nhỏ nên chúng ta không cần thiết phải dùng số âm. Nhưng ví dụ như các bạn muốn tìm $n^2 =? \pmod{11}$, thì thay vì làm
$$
n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \pmod{11}
$$
$$
n^2 = 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2 \pmod{11}
$$
chúng ta sẽ dùng số âm như sau và sẽ giảm được phân nữa phép tính toán
$$
n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5 \pmod{11}
$$

nên 

$$n^2 = 0, 1, 4, 9, 16, 25 = 0, 1, 4, 9, 5, 3 \pmod{11}$$

Đó là vì $6 = -5 \pmod{11}$, $7 = -4 \pmod{11}$, $8 = -3 \pmod{11}$, v.v...





Bài tập về nhà: Dùng modulo 8 để phát hiện ra xem số nguyên tố $p$ nào thì có thể viết được dưới dạng $p = a ^ 2 + 2 b ^ 2$
  • $3 = 1 + 2 = 1^2 + 2 \times 1^2$
  • $5 \neq a^2 + 2 b^2$.
  • $7 \neq a^2 + 2 b^2$.
  • $11 = 9 + 2 = 3^2 + 2 \times 1^2$.
  • $13 \neq a^2 + 2 b^2$.
  • $17 = 9 + 8 = 3^2 + 2 \times 2^2$.
  • $19 = 1 + 18 = 1^2 + 2 \times 3^2$.
  • $23 \neq a^2 + 2 b^2$.
  • $29 \neq a^2 + 2 b^2$. 

Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau tại "modulo - Phần 5"











Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét