Mắt Biếc Hồ Thu


Trong lãng mạn của tình yêu, người ta thường ví von rằng đôi mắt của người mình yêu như "chứa đựng mây bốn phương trời", như "chứa cả bầu trời trăng sao". Hôm nay chúng ta sẽ chứng minh rằng đây không chỉ là những lời đường mật lãng mạn của tình yêu mà còn là những mệnh đề toán học hoàn toàn đúng đắn!!!

Chúng ta sẽ chứng minh bằng toán học một sự thật sau đây:
tồn tại một đa giác có chu vi bằng chu vi trái đất ở trong con mắt
Trong một hình tròn đường kính 1 cm (cỡ bằng tròng đen con mắt của chúng ta), tồn tại một đa giác có chu vi bằng chu vi của trái đất (cỡ 40,000 km)!


Chúng ta sẽ xây dựng đa giác đó như sau. Đầu tiên chúng ta vẽ một tam giác đều thật nhỏ có chu vi bằng 1 cm nằm chính giữa con mắt.


Sau đó, chia mỗi cạnh của tam giác đều này ra thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Lần lượt lấy đoạn thẳng chính giữa làm cạnh, vẽ ra bên ngoài các tam giác đều. Như vậy chúng ta vẽ được một đa giác mới có 12 cạnh.


Bước tiếp theo chúng ta làm tương tự như trên.  Chúng ta chia mỗi cạnh của đa giác thành ba đoạn thẳng bằng nhau rồi lần lượt lấy đoạn thẳng chính giữa làm cạnh, vẽ ra bên ngoài các tam giác đều. Đa giác mới này sẽ có 48 cạnh.



Cứ làm tương tự như vậy, sau mỗi bước chúng ta dựng được một đa giác mới. Các bạn thấy các đa giác này có hình như một bông tuyết. Trong toán học, chúng ta gọi chúng là bông tuyết Koch bởi vì cách dựng hình này do nhà toán học Koch nghĩ ra vào năm 1904.

đa giác có hình bông tuyết Koch



Chúng ta sẽ chứng minh rằng sau một số hữu hạn bước dựng hình như trên, chúng ta sẽ dựng được một đa giác hình bông tuyết Koch có chu vi lớn hơn chu vi của trái đất!

Thật vậy, chúng ta thấy rằng sau mỗi bước dựng hình, chu vi của đa giác mới tăng gấp $\frac{4}{3}$ lần so với chu vi của đa giác cũ.
chu vi của đa giác mới bằng $\frac{4}{3}$ lần so với chu vi của đa giác cũ


Bởi vì chu vi của tam giác đều ban đầu là $1$ cm, cho nên
  • sau bước dựng hình đầu tiên, đa giác mới có 12 cạnh sẽ có chu vi bằng $\frac{4}{3} \approx 1.3$ cm
  • sau bước dựng hình kế tiếp, đa giác mới có 48 cạnh sẽ có chu vi bằng $\frac{4}{3} \times \frac{4}{3} \approx 1.7$ cm
  • sau bước thứ ba, đa giác mới có 192 cạnh sẽ có chu vi bằng $\frac{4}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} \approx 2.3$ cm
  • sau $n$ bước, chúng ta sẽ dựng được đa giác có chu vi bằng $\left( \frac{4}{3} \right)^n$ cm


Chúng ta có hai nhận xét sau đây:
  • Sau $10^{11}$ bước dựng hình thì chu vi của đa giác hình bông tuyết sẽ lớn hơn chu vi trái đất, đó là vì $$\left( \frac{4}{3} \right)^n cm > 100,000 ~km \mbox{ khi chúng ta chọn } n = 10^{11}$$ 
  • Cho dù số $n$ lớn cỡ nào đi nữa thì đa giác hình bông tuyết vẫn nằm bên trong hình tam giác đều $ABC$ như hình dưới đây. Vì vậy nên đa giác bông tuyết sẽ nằm gọn bên trong con mắt chứ không thể vượt ra ngoài được. 
đa giác bông tuyết Koch luôn luôn nằm bên trong tam giác đều $ABC$




Vậy chúng ta đã chứng minh xong một sự thật quá đỗi ngạc nhiên sau đây
Trong một hình tròn đường kính 1 cm (cỡ bằng tròng đen con mắt của chúng ta), tồn tại một đa giác có chu vi lớn hơn chu vi của trái đất (cỡ 40,000 km), lớn hơn chu vi mặt trời (cỡ 4,400,000 km), và thậm chí là lớn hơn cả chu vi của vũ trụ (nếu vũ trụ là hữu hạn như các nhà vật lý tính toán được)!!!

Để kết thúc, mời các bạn thưởng thức bài hát Mắt Biếc Hồ Thu, thơ của nhà toán học nổi tiếng Nguyễn Xuân Vinh


Mắt em là cả hồ thu  
Tiếng em thánh thót như ru men tình  
Ước sao chỉ có đôi mình  
Nhưng đâu chỉ có chúng mình ước ao  
Đêm nào ngước mắt trông sao  
Cùng em mơ ước nơi nào viễn du  
Nhìn em đáy mắt hồ thu  
Anh quên giấc mộng viễn du nơi nào  
Bâng khuâng gió lọt song đào  
Nhớ đôi mắt biếc hôm nào tương tư  
Đường trần một cõi hoang vu  
Đi hoài mới biết thiên thu nhớ người  
Nơi đây có núi cùng đồi  
Có con suối nhỏ da trời màu xanh  
Em ngồi xoã tóc bên mành  
Bài thơ anh mới viết thành tặng em 

(Toàn Phong Nguyễn Xuân Vinh)




Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.


Bài tập về nhà.

1. Sử dụng nhị thức Newton, chứng minh rằng với mọi $x > 0$ thì
$$(1 + x)^n > 1 + n x$$

Từ đó suy ra chu vi của đa giác hình bông tuyết sau $n$ bước dựng hình thoã mãn
$$\left( \frac{4}{3} \right)^n > \frac{n}{10}$$

Với $n = 10^{11}$, chứng minh rằng
$$\left( \frac{4}{3} \right)^n cm > 100,000 ~km$$

2. Dùng quy nạp để chứng minh rằng với mọi giá trị của $n$, sau $n$ bước dựng, đa giác hình bông tuyết vẫn nằm bên trong tam giác đều $ABC$ như hình dưới đây.


3. Sau $n$ bước dựng hình, đa giác hình bông tuyết sẽ có bao nhiêu cạnh?

4. Sau $n$ bước dựng hình, tính diện tích đa giác hình bông tuyết. Chứng minh rằng diện tích là một số hữu hạn.









Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét