Định lý Pascal

Kỳ trước chúng ta đã học về định lý lục giác Pascal. Định lý Pascal nói rằng nếu trên đường cônic chúng ta vẽ một hình lục giác nội tiếp thì ba cặp cạnh đối diện của hình lục giác sẽ cắt nhau tại ba điểm thẳng hàng.

Ví dụ như ở hình dưới đây, chúng ta có một hình lục giác nội tiếp một đường tròn, chúng ta thấy rằng ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện $\{12, 45\}$, $\{23, 56\}$, $\{34, 61\}$ của hình lục giác thẳng hàng.

Có một công cụ rất hiệu quả thường dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng, đó là định lý Menelaus. Định lý Menelaus phát biểu như sau:

Định lý Menelaus: Cho tam giác $ABC$ và ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ lần lượt nằm trên ba đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ thẳng hàng khi và chỉ khi $$\frac{\vec{A'B}}{\vec{A'C}} \times \frac{\vec{B'C}}{\vec{B'A}} \times \frac{\vec{C'A}}{\vec{C'B}} = 1.$$

Hôm nay chúng ta sẽ dùng định lý Menelaus để chứng minh định lý Pascal cho trường hợp đường tròn.




Khi chúng ta muốn dùng định lý Menelaus để chứng minh ba điểm nào đó thẳng hàng, chúng ta cần tìm một hình tam giác sao cho ba điểm cần chứng minh nằm trên ba cạnh của tam giác này.

Nhìn hình vẽ dưới đây, với lục giác Pascal $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6$, để chứng minh ba giao điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ thẳng hàng, chúng ta cần tìm một tam giác mà ba giao điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ nằm trên ba cạnh của tam giác đó. Vì các giao điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ nằm trên các cạnh của lục giác nên chúng ta thấy có hai cách chọn khá là tự nhiên. Đó là tam giác $ABC$, hoặc là tam giác $XYZ$.

Chẳng hạn, nếu chúng chọn tam giác $ABC$ thì điểm $M_1$ nằm trên đường thẳng $BC$, điểm $M_2$ nằm trên đường thẳng $CA$ và điểm $M_3$ nằm trên đường thẳng $AB$. Bây giờ chúng ta cần chứng minh tỷ lệ $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = 1.$$ Để tính được các tỷ lệ này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho các bộ điểm thẳng hàng sau: $$\{M_1, P_5, P_6\}, ~~\{M_2, P_3, P_4\}, ~~\{M_3, P_1, P_2\}.$$
Bây giờ chúng ta sẽ viết cụ thể cách chứng minh.


Chứng minh Định lý Pascal

Chúng ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$.

Vì ba điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ nằm trên ba cạnh của tam giác $ABC$ nên để chứng minh chúng thẳng hàng chúng ta cần chứng minh $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = 1.$$

Thật vậy, sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ với các bộ ba điểm thẳng hàng $$\{M_1, P_6, P_5\}, ~~\{M_2, P_4, P_3\}, ~~\{M_3, P_2, P_1\},$$ chúng ta có $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{P_6 C}}{\vec{P_6 A}} \times \frac{\vec{P_5 A}}{\vec{P_5 B}} = \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{P_4 A}}{\vec{P_4 B}} \times \frac{\vec{P_3 B}}{\vec{P_3 C}} = \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} \times \frac{\vec{P_2 B}}{\vec{P_2 C}} \times \frac{\vec{P_1 C}}{\vec{P_1 A}} = 1.$$ Do đó $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} = \frac{\vec{P_6 A}}{\vec{P_6 C}} \times \frac{\vec{P_5 B}}{\vec{P_5 A}}, ~~~\frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} = \frac{\vec{P_4 B}}{\vec{P_4 A}} \times \frac{\vec{P_3 C}}{\vec{P_3 B}}, ~~~\frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = \frac{\vec{P_2 C}}{\vec{P_2 B}} \times \frac{\vec{P_1 A}}{\vec{P_1 C}}.$$ Từ đó, chúng ta có $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = \frac{\vec{P_6 A}}{\vec{P_6 C}} \times \frac{\vec{P_5 B}}{\vec{P_5 A}} \times \frac{\vec{P_4 B}}{\vec{P_4 A}} \times \frac{\vec{P_3 C}}{\vec{P_3 B}} \times \frac{\vec{P_2 C}}{\vec{P_2 B}} \times \frac{\vec{P_1 A}}{\vec{P_1 C}}$$ $$= \frac{\vec{A P_1} ~\vec{A P_6}}{\vec{A P_4} ~\vec{A P_5}} \times \frac{\vec{B P_4} ~\vec{B P_5}}{\vec{B P_2} ~\vec{B P_3}} \times \frac{\vec{C P_2} ~\vec{C P_3}}{\vec{C P_1} ~\vec{C P_6}} = 1.$$

Phương tích: $\vec{A P_1} ~\vec{A P_6} = \vec{A P_4} ~\vec{A P_5}$; $\vec{B P_4} ~\vec{B P_5} = \vec{B P_2} ~\vec{B P_3}$; $\vec{C P_2} ~\vec{C P_3} = \vec{C P_1} ~\vec{C P_6}$.

Đẳng thức cuối cùng ở trên là nhờ sử dụng phương tích của các điểm $A$, $B$, $C$ đối với đường tròn ngoại tiếp hình lục giác. Và như vậy chúng ta chứng minh xong định lý Pascal.

Hôm nay nhờ sử dụng một cách linh hoạt định lý Menelaus chúng ta đã chứng minh xong định lý Pascal. Định lý Menelaus là một trong những công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng. Các bạn hãy dùng định lý Menelaus để chứng minh định lý Pappus xem thử có được không nhé!

định lý Pappus

Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.





Bài tập về nhà.

1. Chứng minh định lý Pascal bằng cách áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $XYZ$.

2. Chứng minh định lý Pappus.