Bộ số Pitago

Trong hình học có một định lý rất quen thuộc gọi là Định lý Pitago, nói rằng trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Định lý Pitago: $BC^2 = AB^2 + AC^2$

Vì vậy mà phương trình $$x^2 + y^2 = z^2$$ được gọi là phương trình Pitago và nghiệm $(x,y,z)$ của phương trình này được gọi là bộ số Pitago. Lẽ dĩ nhiên chúng ta chỉ quan tâm đến nghiệm số nguyên.

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải phương trình Pitago. Chúng ta sẽ chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm.



Trước khi đi vào giải phương trình Pitago, chúng ta nhắc lại một chút về số nguyên tố. Ở bài viết "Số nguyên tố", chúng ta đã làm một phép liên tưởng thú vị. Đó là tập hợp các số nguyên tố có thể được xem như là một bộ gen hoàn chỉnh dùng để xây dựng toàn bộ các số tự nhiên. Giống như mỗi người chúng ta có những đặc điểm riêng biệt do chúng ta có những bộ gen khác nhau thì các con số cũng vậy, mỗi một con số khác nhau sở hữu một bộ gen khác nhau.



Bởi vì $20 = 2 \times 2 \times 5$, chúng ta có thể nói con số $20$ có hai gen số $2$ và một gen số $5$, trong khi đó số $45 = 3 \times 3 \times 5$ có hai gen số $3$ và một gen số $5$.


Một cách tổng quát thì khi $n$ phân tích ra thừa số nguyên tố như sau $$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$$ thì ta nói $n$ có $\alpha_1$ gen $p_1$, $\alpha_2$ gen $p_2$, ..., và $\alpha_k$ gen $p_k$.



Chúng ta thấy rằng nếu $ab = n^2$ thì $a$ và $b$ phải có dạng như sau: $a = u^2 w$, $b = v^2 w$. Đó là vì số lượng mỗi gen trong $ab$ phải là một số chẵn. Cho nên nếu số lượng gen $p$ trong $a$ là một số lẻ thì số lượng gen $p$ trong $b$ cũng sẽ là số lẻ. Nếu chúng ta tập hợp các loại gen lẻ này lại thành số $w$ thì chúng ta sẽ có $a = u^2 w$ và $b = v^2 w$.

$20 \times 45 = 900 = 30^2$ cho nên gen lẻ của số $20$ phải trùng lặp với gen lẻ của số $45$

Ví dụ như chúng ta có $20 \times 45 = 900 = 30^2$. Chúng ta thấy rằng số $20$ có một gen lẻ là $5$ và số $45$ cũng có một gen lẻ là $5$, do đó chúng ta có thể viết được $20 = 2^2 \times 5$ và $45 = 3^2 \times 5$.


Định lý: nếu $ab = n^2$ thì $a = u^2 w$ và $b = v^2 w$.


Bây giờ chúng ta bắt tay vào giải phương trình Pitago $$x^2 + y^2 = z^2$$

Chúng ta có $$x^2 = z^2 - y^2 = (z-y)(z+y)$$

Do đó theo định lý mà chúng ta vừa phát biểu ở trên thì
  • $z + y = u^2 w$
  • $z - y = v^2 w$
  • $x = uvw$

Vậy nghiệm của phương trình chính là
  • $x = uvw$
  • $y = (u^2 - v^2)w/2$
  • $z = (u^2 + v^2)w/2$
Việc cuối cùng chúng ta cần làm là tìm điều kiện để $y$ và $z$ là số nguyên.

Để cho $y$ và $z$ là số nguyên thì hoặc là $w$ là số chẵn, hoặc là $u$ và $v$ phải cùng tính chẵn lẻ. Chúng ta xem xét từng trường hợp.

Trường hợp 1: $w$ là số chẵn. Đặt $w = 2s$. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình Pitago là
  • $x = 2uvs$
  • $y = (u^2 - v^2)s$
  • $z = (u^2 + v^2)s$

Trường hợp 2: $u$ và $v$ cùng tính chẵn lẻ. Đặt $u = v + 2k$. Từ đó suy ra
  • $x = (v + 2k)vw = (v^2 + 2kv)w$
  • $y = [(v + 2k)^2 - v^2]w/2 = (2kv+2k^2)w$
  • $z = [(v + 2k)^2 + v^2]w/2 = (v^2 + 2kv + 2k^2)w$
Nghiệm này có thể viết lại như sau
  • $x = [(v+k)^2 - k^2]w$
  • $y = 2(v+k)kw$
  • $z = [(v+k)^2 + k^2]w$
Trong cả hai trường hợp trên, chúng ta thấy nghiệm tổng quát của phương trình Pitago có dạng
  • $\{x, y\} = \{ 2abc, (a^2 - b^2)c \}$, và 
  • $z = (a^2 + b^2)c$.


Như vậy chúng ta đã giải xong phương trình Pitago.
  • Với $c=1$, $a=2$, $b=1$, chúng ta có bộ số Pitago $(3,4,5)$ và $3^2 + 4^2 = 5^2$.
  • Với $c=1$, $a=3$, $b=2$, chúng ta có bộ số Pitago $(5,12,13)$ và $5^2 + 12^2 = 13^2$.


Chúng ta thấy rằng phương trình Pitago có vô số nghiệm. Tuy nhiên, với $n \geq 3$, nhà toán học Fermat đã khẳng định rằng phương trình $$x^n + y^n = z^n$$ là không có nghiệm khác không. Phải mất hơn 300 năm các nhà toán học mới chứng minh được bài toán Fermat này. Các bạn có thể đọc thêm về bài toán Fermat ở đây.

Định lý hình học Pitago có thể chứng minh bằng phương pháp tam giác đồng dạng, các bạn có thể đọc cách chứng minh định lý Pitago ở bài viết "Tam giác đồng dạng".


Chúng ta tạm dừng ở đây, xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.




Bài tập về nhà.

1. Chứng minh rằng nếu $ab = n^3$ thì $a = t^3 u v^2$ và $b = s^3 u^2 v$.

2. Chứng minh rằng phương trình $x^4 + y^4 = z^4$ không có nghiệm khác không.




Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét