Hôm nay chúng ta tiếp tục học về phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính để tìm công thức tổng quát cho dãy số. Chúng ta sẽ xem xét trường hợp mà phương trình đặc trưng có nghiệm số phức. Với trường hợp này, chúng ta có hai cách giải. Cách giải thứ nhất giống như trường hợp mà chúng ta đã học ở các bài trước. Còn cách giải thứ nhì thì chúng ta biểu diễn nghiệm số phức dưới dạng lượng giác và chúng ta sẽ có một công thức lượng giác cho dãy số.
Giả sử chúng ta có dãy số thực \{f_n\} thõa mãn phương trình sai phân tuyến tính sau đây a_k ~f_n + a_{k−1} ~f_{n−1} + a_{k−2} ~f_{n−2}+ \dots + a_0 ~f_{n−k}=0.
Ở đây, các hệ số a_0, a_1, \dots, a_k là các số thực, tuy nhiên phương trình đặc trưng a_k ~x^k + a_{k−1} ~x^{k−1} + \dots + a_1 ~x + a_0=0 lại có nghiệm phức. Chúng ta sẽ phân loại nghiệm này ra làm hai loại:
- Loại nghiệm thực: giả sử phương trình đặc trưng có t nghiệm thực x_1, x_2, ..., x_t, trong đó x_1 là nghiệm bội bậc u_1, x_2 là nghiệm bội bậc u_2, v.v...
- Loại nghiệm phức: giả sử phương trình đặc trưng có s bộ nghiệm phức z_1, \overline{z_1}, z_2, \overline{z_2}, ..., z_s, \overline{z_s}, trong đó z_1, \overline{z_1} là bộ nghiệm phức bội bậc v_1, z_2, \overline{z_2} là bộ nghiệm phức bội bậc v_2, v.v...
Theo phương pháp mà chúng ta đã học ở các bài trước thì chúng ta có thể chứng minh được công thức cho dãy số là như sau f_n = p_1(n) ~x_1^{n} + \dots + p_t(n) ~x_t^{n} + q_1(n) ~z_1^{n} + \overline{q_1}(n) ~\overline{z_1}^{n} + \dots + q_s(n) ~z_s^{n} + \overline{q_s}(n) ~\overline{z_s}^{n}, trong đó
- p_1(n), ..., p_t(n) là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua u_1, ..., u_t; còn
- q_1(n), ..., q_s(n) là các đa thức có hệ số phức và có bậc lần lượt bé thua v_1, ..., v_s.
Chúng ta xem xét một vài ví dụ.
Bài toán 1: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=2, ~f_1=12, ~f_n= 3 f_{n−1} − 9 f_{n−2}.
Lời giải: Từ phương trình sai phân f_n= 3 f_{n−1} − 9 f_{n−2} chúng ta có phương trình đặc trưng x^2 − 3x + 9 =0.
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có \Delta = 3^2 - 4 \times 9 = - 27 < 0, \pm ~\sqrt{\Delta} = \pm ~ 3 \sqrt{3} ~i,
vậy phương trình có một bộ nghiệm phức z_1 = \frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}, ~~~\overline{z_1} = \frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}.
Chúng ta tìm dãy số có dạng f_n = \alpha ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + \overline{\alpha} ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n.
Với n=0,1, chúng ta có f_0= \alpha + \overline{\alpha} = 2, f_1= \alpha ~ \frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2} + \overline{\alpha} ~ \frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2} = 12.
Từ phương trình thứ nhì, chúng ta có f_1= \frac{3}{2} (\alpha + \overline{\alpha}) + \frac{3 \sqrt{3} i}{2} (\alpha - \overline{\alpha}) = 12.
Suy ra \alpha - \overline{\alpha} = -2 \sqrt{3} ~i.
Do đó \alpha = 1 - \sqrt{3} ~i, ~~~ \overline{\alpha} = 1 + \sqrt{3} ~i.
Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số f_n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n.
Chúng ta biết rằng với một công thức liên quan đến luỹ thừa của số phức thì công thức lượng giác sẽ rất tiện dụng bởi vì chúng ta sẽ sử dụng được công thức Moivre.
Chúng ta sẽ biểu diễn bộ nghiệm phức \frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2} về dạng lượng giác.
Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng \left| \frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2} \right| = \sqrt{ \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 } = \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{27}{4} } = \sqrt{9} = 3.
Từ đó chúng ta có dạng lượng giác \frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2} = 3 ~\left( \frac{1}{2} \pm i ~\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 3 (\cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}).
Dùng công thức Moivre chúng ta sẽ tính được
f_n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~3^n ~ (\cos{\frac{\pi}{3}} + i ~ \sin{\frac{\pi}{3}})^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ 3^n ~ (\cos{\frac{\pi}{3}} - i ~ \sin{\frac{\pi}{3}})^n = 3^n (1 - \sqrt{3} ~i) (\cos{\frac{n \pi}{3}} + i ~ \sin{\frac{n \pi}{3}}) + 3^n (1 + \sqrt{3} ~i) (\cos{\frac{n \pi}{3}} - i ~ \sin{\frac{n \pi}{3}}) = 3^n (2 \cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} \sin{\frac{n \pi}{3}}).
Vậy chúng ta đã tìm ra được hai công thức tổng quát cho dãy số
f_n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n = 3^n ~ \left(2 ~\cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} ~\sin{\frac{n \pi}{3}} \right).
Phương pháp tìm công thức tổng quát cho dãy số ở dạng lượng giác
Giả sử chúng ta cần tìm công thức tổng quát cho dãy số thực \{f_n\} thõa mãn phương trình sai phân tuyến tính a_k ~f_n + a_{k−1} ~f_{n−1} + a_{k−2} ~f_{n−2}+ \dots + a_0 ~f_{n−k}=0.
Các hệ số a_0, a_1, \dots, a_k là các số thực và phương trình đặc trưng a_k ~x^k + a_{k−1} ~x^{k−1} + \dots + a_1 ~x + a_0=0 có nghiệm phức. Chúng ta sẽ phân loại nghiệm này ra làm hai loại:
- Loại nghiệm thực: giả sử phương trình đặc trưng có t nghiệm thực x_1, x_2, ..., x_t, trong đó x_1 là nghiệm bội bậc u_1, x_2 là nghiệm bội bậc u_2, v.v...
- Loại nghiệm phức: giả sử phương trình đặc trưng có s bộ nghiệm phức z_1, \overline{z_1}, z_2, \overline{z_2}, ..., z_s, \overline{z_s}, trong đó z_1, \overline{z_1} là bộ nghiệm phức bội bậc v_1, z_2, \overline{z_2} là bộ nghiệm phức bội bậc v_2, v.v...
Chúng ta viết các nghiệm phức này về dạng lượng giác như sau z_1, \overline{z_1} = r_1 (\cos{\phi_1} \pm i ~ \sin{\phi_1}); ~\dots; ~z_s, \overline{z_s} = r_s (\cos{\phi_s} \pm i ~ \sin{\phi_s}).
- p_1(n), ..., p_t(n) là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua u_1, ..., u_t; còn
- g_1(n), h_1(n), ..., g_s(n), h_s(n) là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua v_1, ..., v_s.
Ở bài toán dưới đây, chúng ta chỉ tìm công thức dạng lượng giác cho dãy số.
Bài toán 2: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=5, ~f_1=12, ~f_n= 6 f_{n−1} − 12 f_{n−2}.
Lời giải: Từ phương trình sai phân f_n= 6 f_{n−1} − 12 f_{n−2} chúng ta có phương trình đặc trưng x^2 − 6x + 12 =0.
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có một bộ nghiệm phức 3 \pm i~ \sqrt{3}.
Chúng ta sẽ biểu diễn bộ nghiệm phức 3 \pm i~ \sqrt{3} về dạng lượng giác.
Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng \left| 3 \pm i~ \sqrt{3} \right| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}.
Từ đó chúng ta có dạng lượng giác 3 \pm i~ \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} ~\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~\frac{1}{2} \right) = 2 \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}).
Chúng ta tìm dãy số có dạng f_n = (2 \sqrt{3})^n ~ (\alpha ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} + \beta ~ \sin{\frac{n \pi}{6}} ).
Với n=0,1, chúng ta có f_0= \alpha = 5, f_1= 2 \sqrt{3} (\alpha ~\frac{\sqrt{3}}{2} + \beta ~\frac{1}{2}) = 12.
Giải hệ phương trình này chúng ta có \alpha = 5 và \beta = - \sqrt{3}.
Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số f_n = (2 \sqrt{3})^n ~ (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}} ).
Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau chúng ta sẽ giải thêm nhiều ví dụ về trường hợp số phức này. Xin hẹn gặp lại các bạn.
Bài tập về nhà.
1. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=1, ~f_1=4, ~f_n= 2 f_{n−1} − 4 f_{n−2}.
2. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=2, ~f_1=4, ~f_n = f_{n−1} − f_{n−2}.
3. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=5, ~f_1=6, ~f_n = 3 f_{n−1} − 3 f_{n−2}.
4. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau f_0=2, ~f_1=1, ~f_2=10, ~f_n= 4 f_{n−1} − 24 f_{n−3}.
5. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau f_n = (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{4}} + 3 ~ \sin{\frac{n \pi}{4}}) (\sqrt{2})^n .
6. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau f_n = \cos{\frac{n \pi}{4}} + \sin{\frac{n \pi}{4}}.
7. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau f_n = 2n + 1 + (3 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n.
8. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau f_n = (2n \cos{\frac{n \pi}{3}} - 2 \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 3^n.
Đáp số.
1. f_n = (\cos{\frac{n \pi}{3}} + \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 2^n.
2. f_n = 2 ~ \cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} .
3. f_n = (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n .
4. f_n = (-2)^n + (2 \sqrt{3})^n ~ \cos{\frac{n \pi}{6}}.
5. f_0 = 5, ~~f_1 = 8, ~~f_n = 2 f_{n-1} - 2 f_{n-2}.
6. f_0 = 1, ~~f_1 = \sqrt{2}, ~~f_n = \sqrt{2} f_{n-1} - f_{n-2}.
7. f_0 = 4, ~~f_1 = 6, ~~f_2 = 5, ~~f_3 = -2, ~~f_n= 5 f_{n−1} − 10 f_{n−2} + 9 f_{n-3} - 3 f_{n-4}.
8. f_0 = 0, ~~f_1 = -6, ~~f_2 = -45, ~~f_3 = -162, ~~f_n= 6 f_{n−1} − 27 f_{n−2} + 54 f_{n-3} - 81 f_{n-4}.