Định lý Ngôi Sao Do Thái


Hôm nay xin giới thiệu với các bạn một định lý hình học rất đẹp gọi là Định lý Ngôi Sao Do Thái. Định lý này là hệ quả của Định lý Lục giác kỳ diệu của Pascal và Định lý Pappus.


Định lý Ngôi Sao Do Thái. Cho hai tam giác $abc$ và $xyz$ cùng nội tiếp một đường tròn. Các cạnh của hai tam giác này cắt nhau tại sáu điểm: $$p = ab \cap yz, ~~s = bc \cap zx,$$ $$q = ca \cap yz, ~~r = bc \cap xy,$$ $$1 = ab \cap xy, ~~3 = ca \cap zx.$$ Vậy thì ba đường thẳng $ps$, $qr$ và $13$ phải đồng quy tại một điểm.

Để chứng minh ba đường thẳng $ps$, $qr$, $13$ đồng quy, chúng ta sẽ gọi giao điểm $ps \cap qr = 2$ rồi chứng minh rằng ba điểm $1$, $2$ và $3$ thẳng hàng.


Nhìn hình vẽ trên, chúng ta thấy nó có rất nhiều nét giống Định lý Lục giác PascalĐịnh lý Pappus.


Do đó chúng ta sẽ dùng Định lý Lục giác Pascal và Định lý Pappus để chứng minh Định lý Ngôi Sao Do Thái.

Vẽ các giao điểm sau: $$4 = yc \cap bz, ~~ 5 = pc \cap rz, ~~ 6 = ys \cap bq.$$
Chúng ta sẽ chứng minh rằng sáu điểm $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ và $6$ thẳng hàng.

Dưới đây là phát thảo cách chứng minh:
Chúng ta sẽ vẽ hình cho từng trường hợp để các bạn thấy một cách rõ ràng hơn.

Ba điểm $1$, $4$, $3$ thẳng hàng theo Định lý Pascal

Ba điểm $1$, $4$, $5$ thẳng hàng theo Định lý Pappus

Ba điểm $3$, $5$, $2$ thẳng hàng theo Định lý Pappus

Ba điểm $1$, $2$, $6$ thẳng hàng theo Định lý Pappus

Ba điểm $3$, $4$, $6$ thẳng hàng theo Định lý Pappus



Định lý Ngôi Sao Do Thái cho các đường cônic


trên, chúng ta phát biểu Định lý Ngôi Sao Do Thái cho đường tròn. Nhưng Định lý Ngôi Sao Do Thái thú vị ở chỗ là nó đúng cho tất cả các đường cônic. Đó là vì Định lý Ngôi Sao Do Thái là hệ quả của Định lý Lục giác Pascal, và Định lý Lục giác Pascal đúng cho cả đường tròn, đường elíp, đường parabol, và đường hypebol.


Dưới đây là ví dụ cho đường elíp:

Đây là đường parabol:


Còn đây là đường hypebol:

Chúng ta tạm dừng ở đây, hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.





Bài tập về nhà.

1. Vẽ hình Định lý Ngôi Sao Do Thái cho những vị trí khác nhau của hai hình tam giác.


2. Chứng minh chặt chẽ Định lý Ngôi Sao Do Thái dựa vào những bước phát thảo ở trên.


3. Vào trang google.com để tìm đọc các ứng dụng khác của Định lý Pascal.





Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét