Định lý Pappus

Hôm nay chúng ta sẽ học về định lý Pappus. Định lý này nói rằng nếu chúng ta chọn ba điểm $1$, $3$, $5$ trên một đường thẳng, và ba điểm $2$, $4$, $6$ trên một đường thẳng khác, thì ba giao điểm của các cặp đường thẳng $$\{12, 45\}, ~\{23, 56\}, ~\{34, 61\}$$ sẽ thẳng hàng.

Định lý Pascal

Kỳ trước chúng ta đã học về định lý lục giác Pascal. Định lý Pascal nói rằng nếu trên đường cônic chúng ta vẽ một hình lục giác nội tiếp thì ba cặp cạnh đối diện của hình lục giác sẽ cắt nhau tại ba điểm thẳng hàng.

Ví dụ như ở hình dưới đây, chúng ta có một hình lục giác nội tiếp một đường tròn, chúng ta thấy rằng ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện $\{12, 45\}$, $\{23, 56\}$, $\{34, 61\}$ của hình lục giác thẳng hàng.

Có một công cụ rất hiệu quả thường dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng, đó là định lý Menelaus. Định lý Menelaus phát biểu như sau:

Định lý Menelaus: Cho tam giác $ABC$ và ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ lần lượt nằm trên ba đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ thẳng hàng khi và chỉ khi $$\frac{\vec{A'B}}{\vec{A'C}} \times \frac{\vec{B'C}}{\vec{B'A}} \times \frac{\vec{C'A}}{\vec{C'B}} = 1.$$

Hôm nay chúng ta sẽ dùng định lý Menelaus để chứng minh định lý Pascal cho trường hợp đường tròn.

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Kỳ trước chúng ta đã học về khái niệm phương tích. Phương tích của một điểm $P$ đến một đường tròn tâm $O$ bán kính $r$ được xác định bởi công thức sau $${\cal P}(P, (O)) = \vec{PU} \times \vec{PV} = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2,$$ ở đây, $U$ và $V$ là hai giao điểm của đường tròn $(O)$ với một đường thẳng bất kỳ đi qua $P$.

Phương tích: ${\cal P}(P, (O)) = \vec{PU} \times \vec{PV} = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2$.

Phương tích cho chúng ta biết được vị trí tương đối của điểm $P$ đối với đường tròn. Nếu phương tích là số dương thì $P$ nằm bên ngoài đường tròn, nếu phương tích là số âm thì $P$ nằm bên trong đường tròn, còn nếu phương tích bằng $0$ thì điểm $P$ nằm trên đường tròn.

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét ứng dụng của phương tích với hai công cụ chính, đó là trục đẳng phương và tâm đẳng phương. Trục đẳng phương thường được dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng, còn tâm đẳng phương thường dùng để chứng minh các đường thẳng đồng quy.