Radian là gì?


Nhân dịp ngày số $\pi$, chúng ta sẽ tìm hiểu một chút về khái niệm radian.




Radian

Bình thường trong đời sống hằng ngày, khi nói về góc, chúng ta thường dùng đơn vị độ. Ví dụ góc vuông là 90 độ, góc tam giác đều là 60 độ, góc bẹt là 180 độ. Tuy nhiên, trong toán học, tất cả các hàm số, ví dụ sin(x), cos(x), v.v..., thì góc $x$ luôn luôn được dùng với đơn vị radian.

Vậy đơn vị radian là gì?

Muốn dùng đơn vị radian, chúng ra vẽ hình tròn đơn vị. Hình tròn đơn vị là hình tròn có bán kính bằng 1. Chúng ta cũng đã biết rằng, theo định nghĩa, thì số $\pi$ chính là độ dài của một nửa đường tròn đơn vị.




Độ lớn của một góc theo đơn vị radian chính là độ dài của cung chắn góc đó.
Theo đơn vị radian thì $x$ chính là độ dài cung chắn góc

Ví dụ, góc vuông chắn một phần tư đường tròn. Một phần tư đường tròn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$. Do đó theo đơn vị radian thì góc vuông là $\frac{\pi}{2}$ (radian).



Góc bẹt (180 độ) chắn một nửa đường tròn. Một nửa đường tròn có độ dài là $\pi$. Vậy theo đơn vị radian thì góc bẹt là $\pi$.


Như vậy, các bạn có thể dễ dàng ghi nhớ sự chuyển đổi giữa đơn vị độ và radian bằng sự liên tưởng sau
góc bẹt 180 độ $\to$ nửa đường tròn đơn vị $\to ~~ \pi$
Những góc mà chúng ta thường dùng là
$$180^{o} ~~\to ~~ \pi$$ $$360^{o} ~~\to ~~ 2\pi$$ $$90^{o} ~~\to ~~ \frac{\pi}{2}$$ $$45^{o} ~~\to ~~ \frac{\pi}{4}$$ $$60^{o} ~~\to ~~ \frac{\pi}{3}$$ $$30^{o} ~~\to ~~ \frac{\pi}{6}$$
Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau chúng ta sẽ quay trở về với chuổi bài hằng đẳng thức.



Bài tập về nhà:

Ở phần bài tập về nhà, chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức Viét về số $\pi$ mà chúng ta đã biết đến từ kỳ trước $$ \frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots $$ Nhìn hình vẽ sau, chúng ta thấy $ZA = sin(x)$ là đoạn thẳng nên sẽ nhỏ hơn đường cong $ZI = x$ $$ sin(x) < x $$
Đặc biệt, nếu góc $x$ càng nhỏ thì $sin(x)$ càng xấp xỉ bằng $x$. Chúng ta sẽ sử dụng điều này để chứng minh đẳng thức Viét về số $\pi$.

1. Dùng công thức lượng giác cos cho góc gấp đôi $$cos(2x) = 2 cos^2(x) - 1$$ để chứng minh rằng $$ cos \frac{\pi}{4} = \sqrt{\frac{1}{2}} $$ $$ cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} $$ $$ cos \frac{\pi}{16} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} $$ Từ đó suy ra $$ \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} = cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdot cos \frac{\pi}{16} $$

2. Dùng công thức lượng giác sin cho góc gấp đôi $$sin(2x) = 2 sin(x) ~ cos(x)$$ để chứng minh rằng $$ cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdot cos \frac{\pi}{16} = \frac{\frac{1}{8}}{sin \frac{\pi}{16} } = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\frac{\pi}{16}}{sin \frac{\pi}{16} } $$

3. Như ở trên chúng ta đã nói, vì góc $\frac{\pi}{16}$ rất nhỏ nên suy ra $$ sin \frac{\pi}{16} \approx \frac{\pi}{16}$$ và $$ cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdot cos \frac{\pi}{16} \approx \frac{2}{\pi} $$

4. Một cách tổng quát, chứng minh rằng $$ cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdots cos \frac{\pi}{2^n} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\frac{\pi}{2^n}}{sin \frac{\pi}{2^n} } $$ và $$ \lim_{n \to \infty} cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdots cos \frac{\pi}{2^n} = \frac{2}{\pi} $$ Đây chính là đẳng thức Viét về số $\pi$ $$\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots = \frac{2}{\pi}$$

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét