Công thức Moivre


bài trước chúng ta đã học sơ qua về số phức. Hôm nay chúng ta sẽ học về dạng lượng giác của số phức và công thức Moivre.



Xin nhắc lại rằng điểm trọng tâm của số phức là sự ra đời của một con số rất đặc biệt, đó là con số $i$ với tính chất $$i^2 = -1.$$
Số phức có dạng $$a + ib$$ trong đó $a$ và $b$ là hai số thực. Kỳ trước chúng ta đã học về những phép tính đại số cơ bản của số phức.

  • Phép cọng và trừ $$(a + i b) + (c + i d) = (a+c) + i (b+d) ,$$ $$(a + i b)- (c + i d) = (a-c) + i (b - d). $$
  • Phép nhân $$(a + i b)(c + i d) = ac + i ad + i bc + i^2 bd = (ac - bd) + i (bc + ad ) .$$
  • Phép chia Sử dụng đẳng thức $$(a + i b)(a - ib ) = a^2 - i^2 b^2 = a^2 + b^2 .$$  $$\frac{c + i d}{a + i b} = \frac{(c + i d)(a - ib)}{(a + ib)(a - ib)} = \frac{(ac + bd) + i(ad - bc)}{a^2 + b^2} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + i \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}.$$
  • Số phức liên hợp $$\overline{a + i b} = a - ib, ~~~~\overline{a- ib} = a + ib.$$
  • Trị tuyệt đối $$|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$


Dạng lượng giác của số phức

Hôm nay chúng ta sẽ học về một tính chất rất quan trọng của số phức, đó là mọi số phức $z$ đều có thể viết về dạng lượng giác như sau $$z = r (\cos{\phi} + i ~\sin{\phi}),$$ trong đó $r = |z|$.

Thật vậy, với $z = a + ib$, chúng ta có $$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2},$$
do đó $$\frac{z}{r} = \frac{a}{r} + i ~ \frac{b}{r}.$$

Chúng ta có $$\left( \frac{a}{r} \right)^2 + \left( \frac{b}{r} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{r^2} = 1,$$
do đó tồn tại $\phi$ để $$\frac{a}{r} = \cos{\phi}, ~~~~~~ \frac{b}{r} = \sin{\phi}.$$

Suy ra $$\frac{z}{r} = \frac{a}{r} + i ~ \frac{b}{r} = \cos{\phi} + i ~ \sin{\phi}.$$

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác của số phức $$z = r (\cos{\phi} + i ~\sin{\phi}).$$

Trường hợp đặc biệt $z = 0$ thì chúng ta có thể chọn $r=\alpha = 0$.


Phép nhân của số phức theo dạng lượng giác

Dạng lượng giác của số phức rất tiện lợi trong việc lấy tích của hai số phức nhờ vào hằng đẳng thức sau đây $$(\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha})(\cos{\beta} + i ~\sin{\beta}) = \cos{(\alpha + \beta)} + i ~ \sin{(\alpha + \beta)} .$$

Do đó nếu chúng ta có hai số phức $u$ và $v$, nếu chúng ta biểu diễn chúng về dạng lượng giác $$u = r (\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha}),$$ $$v = s (\cos{\beta} + i ~ \sin{\beta}),$$ thì tích của chúng sẽ là $$uv = rs (\cos{(\alpha + \beta) + i ~\sin{(\alpha + \beta)}}) .$$


Luỹ thừa và Công thức Moivre

Tương tự như phép nhân, phép lấy luỹ thừa cũng rất dễ dàng khi chúng ta viết số phức về dạng lượng giác.

Nếu $$u = r (\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha})$$ thì $$u^n = r^n (\cos{(n \alpha)} + i ~ \sin{(n \alpha)}).$$

Hằng đẳng thức sau đây gọi là công thức Moivre, đây là một công thức rất quan trọng về số phức $$(\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha})^n =  \cos{(n \alpha)} + i ~ \sin{(n \alpha)}.$$ 

  
Bây giờ chúng ta làm một số bài tập.


Bài toán 1: Giải phương trình bậc hai $$x^2 − 2 x + 4 =0$$ rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác.

Lời giải: Chúng ta có $$\Delta' = 1^2 - 4 = -3,$$ do đó phương trình này có nghiệm phức $$1 \pm i~ \sqrt{3}.$$

Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$| 1 \pm i~ \sqrt{3} | = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2.$$

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$1 \pm i~ \sqrt{3} = 2 ~\left( \frac{1}{2} \pm i ~\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 (\cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}).$$


Bài toán 2: Giải phương trình bậc hai $$x^2 −  x + 1 =0$$ rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác.

Lời giải: Chúng ta có $$\Delta = 1^2 - 4 = -3,$$ do đó phương trình này có nghiệm phức $$\frac{1 \pm i~ \sqrt{3}}{2}.$$

Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| \frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1.$$

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \pm i~ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}.$$


Bài toán 3: Giải phương trình bậc hai $$x^2 −  3 x + 3 =0$$ rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác.

Lời giải: Chúng ta có $$\Delta = 3^2 - 4 \times 3 = -3,$$ do đó phương trình này có nghiệm phức $$\frac{3 \pm i~ \sqrt{3}}{2}.$$

Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| \frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right| = \sqrt{\left( \frac{3}{2}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3}.$$

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~ \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}).$$


Bài toán 4: Tính $(1 + i)^{2012}$ bằng hai cách, công thức Moivre và nhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức sau $${2012 \choose 0} - {2012 \choose 2} + {2012 \choose 4} - {2012 \choose 6} + \dots + {2012 \choose 2008} -  {2012 \choose 2010} + {2012 \choose 2012} = - 2^{1006}.$$

Lời giải: Cách thứ nhất chúng ta đưa $1+i$ về dạng lượng giác rồi dùng công thức Moivre.

Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của $1+i$: $$|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$$

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác  $$1 + i = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i ~ \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} ( \cos{\frac{\pi}{4}} + i ~ \sin{\frac{\pi}{4}}).$$

Dùng công thức Moivre, chúng ta tính luỹ thừa $$(1 + i)^{2012} = (\sqrt{2})^{2012} ( \cos{\frac{2012 \pi}{4}} + i ~ \sin{\frac{2012 \pi}{4}}) = 2^{1006} (\cos{(503 \pi)} + i ~ \sin{(503 \pi)}) = - 2^{1006}.$$

Dùng nhị thức Newton, chúng ta có $$(1 + i)^{2012} = 1 + {2012 \choose 1} i + {2012 \choose 2} i^2 + {2012 \choose 3} i^3 + {2012 \choose 4} i^4 + {2012 \choose 5} i^5 + \dots + {2012 \choose 2011} i^{2011} + i^{2012}$$ $$= 1 + {2012 \choose 1} i - {2012 \choose 2} - {2012 \choose 3} i + {2012 \choose 4} + {2012 \choose 5} i + \dots - {2012 \choose 2011} i + 1$$

So sánh phần số thực của hai kết quả, chúng ta rút ra được hằng đẳng thức $$1 - {2012 \choose 2} + {2012 \choose 4} - {2012 \choose 6} + \dots + {2012 \choose 2008} -  {2012 \choose 2010} + 1 = - 2^{1006}.$$



Chúng ta tạm dừng ở đây. Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.




Bài tập về nhà.

1. Viết các số sau về dạng lượng giác: $1 - i$, $3 + 3i$, $\sqrt{3} + 3i$, $3 - \sqrt{3} i$, $2$, $- 7 + 7i$, $3i$.

2. Tìm giá trị tuyệt đối của số phức $\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha}$.

3. Cho $u = r (\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha})$ và $v = s (\cos{\beta} + i ~ \sin{\beta})$, tính $u/v$.

4. Tính $(1 + i)^{2013}$ bằng hai cách, công thức Moivrenhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức tổ hợp.

5. Biểu diễn $x$ dưới dạng lượng giác rồi tìm tất cả các giá trị của số phức $x$ sao cho $x^4 = -1$.





Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét