Định lý Morley

Cho một hình tam giác $ABC$. Các đường chia ba góc $A$, $B$, $C$ của tam giác cắt nhau tại các điểm $A'$, $B'$, $C'$ như hình vẽ dưới đây. Chứng minh rằng tam giác $A'B'C'$ là một tam giác đều. Đây gọi là định lý Morley.

Chứng minh: Đầu tiên, chúng ta ký hiệu các góc $$a=\frac{\angle A}{3}, ~~b=\frac{\angle B}{3}, ~~c=\frac{\angle C}{3} .$$ Như vậy thì $$a+b+c = 60^{o}.$$ Tiếp theo, chúng ta ký hiệu, $$a' = a + 60^{o}, ~b' = b + 60^{o}, ~c' = c + 60^{o} .$$ Như vậy thì $$a + b' + c' = b + c' +  a' = c + a' + b' = 180^{o} .$$

Bây giờ thay vì chúng ta bắt đầu bởi tam giác $ABC$, thì chúng ta vẽ một tam giác đều $A'B'C'$ trước. Tiếp theo đó, chúng ta vẽ ở phía bên ngoài tam giác đều $A'B'C'$ các tam giác $A'B'C$, $B'C'A$ và $C'A'B$ sao cho 

$$\angle A'CB' = c,  ~~\angle A'B'C= a',  ~~\angle B'A'C = b',$$

$$\angle B'AC' = a,  ~~\angle B'C'A = b',  ~~\angle C'B'A = c',$$

$$\angle C'BA' = b,  ~~\angle C'A'B = c',  ~~\angle A'C'B = a' .$$

Lý do mà chúng ta có thể vẽ được các hình tam giác này là vì $$a + b ' + c ' = b + c ' +  a ' = c + a ' + b ' = 180^{o}$$ như đã nói ở trên.

Bây giờ công việc của chúng ta là phải đi chứng minh

$$\angle BAC' = \angle CAB' = a, ~~ \angle ABC' = \angle CBA' = b, ~~ \angle BCA' = \angle ACB' = c .$$

Để chứng minh điều này chúng ta kẻ thêm $A'P$ và $A'Q$ như hình dưới đây sao cho  $$\angle C'A'P = 60^{o}, ~~\angle PA'B = c, ~~\angle B'A'Q = 60^{o}, ~~\angle QA'C = b.$$ Rõ ràng hai tam giác $A'C'P$ và $A'B'Q$ là bằng nhau theo trường hợp góc-cạnh-góc và vì vậy chúng ta có $$A'P = A'Q.$$

Chúng ta xem xét hai tam giác $BPA'$ và $A'QC$. Hai tam giác này có hai cặp góc bằng nhau và vì vậy đây là hai tam giác đồng dạng. Từ đó suy ra $$\frac{BP}{A'Q} = \frac{BA'}{A'C}.$$ Thay $A'Q=PA'$ vào chúng ta có $$\frac{BP}{PA'} = \frac{BA'}{A'C}.$$ Từ đây kết hợp với đẳng thức $$\angle BPA' = \angle BA'C = 180^{o} - (b+c),$$  chúng ta suy ra hai tam giác $BPA'$ và $BA'C$ là hai tam giác đồng dạng.

Do đó chúng ta suy ra $$\angle A'BC = \angle PBA' = b, ~~~\angle A'CB = \angle PA'B = c.$$

Chứng minh tương tự chúng ta sẽ có  $$\angle BAC' = a, ~~~\angle ABC' =  b$$ và  $$\angle CAB' = a, ~~~\angle ACB' = c.$$ Như vậy định lý đã được chứng minh.