Định lý Pappus

Hôm nay chúng ta sẽ học về định lý Pappus. Định lý này nói rằng nếu chúng ta chọn ba điểm $1$, $3$, $5$ trên một đường thẳng, và ba điểm $2$, $4$, $6$ trên một đường thẳng khác, thì ba giao điểm của các cặp đường thẳng $$\{12, 45\}, ~\{23, 56\}, ~\{34, 61\}$$ sẽ thẳng hàng.


Định lý Pappus nhìn rất giống định lý lục giác Pascal. Thực vậy, định lý Pascal nói rằng nếu chúng ta vẽ một hình lục giác $123456$ nội tiếp một hình tròn thì ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện $$\{12, 45\}, ~\{23, 56\}, ~\{34, 61\}$$ của hình lục giác thẳng hàng.


Như vậy, thay vì nội tiếp đường tròn như ở định lý Pascal, thì ở định lý Pappus, chúng ta có thể xem như hình lục giác $123456$ "nội tiếp" hai đường thẳng và ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện $$\{12, 45\}, ~\{23, 56\}, ~\{34, 61\}$$ của hình lục giác này thẳng hàng.



Sự đa dạng của định lý Pappus

Giống như định lý Pascal, định lý Pappus có rất nhiều dạng cấu hình. Sáu đỉnh của hình lục giác có thể nằm theo thứ tự tùy ý trên hai đường thẳng. Với mỗi thứ tự sắp xếp của các đỉnh, chúng ta lại có một dạng cấu hình khác nhau cho định lý Pappus. Dưới đây là một ví dụ.


Bây giờ, xin mời các bạn vẽ thật nhiều hình vẽ khác nhau cho định lý Pappus.



Hình vẽ sau đây mô tả một điểm thú vị khác của định lý Pappus, đó là sự hoán chuyển vai trò của các giao điểm và các đỉnh. Hình ở giữa có sự hoán chuyển vai trò của các giao điểm với các đỉnh $1$, $3$, $5$; còn ở hình phía bên phải, các giao điểm hoán chuyển với các đỉnh $2$, $4$, $6$.


Để ý rằng ở cả ba hình vẽ trên thì $u$ bao giờ cũng là giao điểm của $\{12, 45\}$, $v$ bao giờ cũng là giao điểm của $\{34, 61\}$ và $w$ bao giờ cũng là giao điểm của $\{23, 56\}$.



Chứng minh Định lý Pappus

Chúng ta sẽ dùng định lý Menelaus để chứng minh định lý Pappus. Định lý Menelaus là một công cụ rất hiệu quả thường dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng. Định lý Menelaus phát biểu như sau:

Định lý Menelaus: Cho tam giác $ABC$ và ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ lần lượt nằm trên ba đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ thẳng hàng khi và chỉ khi $$\frac{\vec{A'B}}{\vec{A'C}} \times \frac{\vec{B'C}}{\vec{B'A}} \times \frac{\vec{C'A}}{\vec{C'B}} = 1.$$

Cách chứng minh định lý Pappus mà chúng ta sắp trình bày rất giống cách chứng minh định lý Pascal mà chúng ta đã học ở bài trước. Trước khi trình bày chi tiết, chúng ta cùng ôn lại cách chứng minh định lý Pascal. Chúng ta nhìn hình vẽ sau đây.

Ở hình vẽ trên, chúng ta thấy hình lục giác Pascal $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6$ và ba giao điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$. Để chứng minh ba giao điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ thẳng hàng, chúng ta chọn tam giác $ABC$ rồi sử dụng định lý Menelaus. Bởi vì điểm $M_1$ nằm trên đường thẳng $BC$, điểm $M_2$ nằm trên đường thẳng $CA$ và điểm $M_3$ nằm trên đường thẳng $AB$, để chứng minh chúng thẳng hàng chúng ta đã chứng minh rằng $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = 1.$$


Bây giờ tương tự như vậy, để chứng minh định lý Pappus, chúng ta cũng sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$. Cách xác định tam giác $ABC$ tương tự như trong định lý Pascal: $A$ chính là giao điểm của $P_4 P_5$ với $P_6 P_1$, $B$ là giao điểm của $P_2 P_3$ với $P_4 P_5$, còn $C$ là giao điểm của $P_2 P_3$ với $P_6 P_1$.

Chúng ta viết cụ thể cách chứng minh.

Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ với các bộ ba điểm thẳng hàng $$\{M_1, P_6, P_5\}, ~~\{M_2, P_4, P_3\}, ~~\{M_3, P_2, P_1\}, ~~\{P_1, P_3, P_5\}, ~~\{P_2, P_4, P_6\},$$
chúng ta có $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{P_6 C}}{\vec{P_6 A}} \times \frac{\vec{P_5 A}}{\vec{P_5 B}} = \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{P_4 A}}{\vec{P_4 B}} \times \frac{\vec{P_3 B}}{\vec{P_3 C}} = \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} \times \frac{\vec{P_2 B}}{\vec{P_2 C}} \times \frac{\vec{P_1 C}}{\vec{P_1 A}}$$ $$=\frac{\vec{P_1 A}}{\vec{P_1 C}} \times \frac{\vec{P_3 C}}{\vec{P_3 B}} \times \frac{\vec{P_5 B}}{\vec{P_5 A}} = \frac{\vec{P_2 C}}{\vec{P_2 B}} \times \frac{\vec{P_4 B}}{\vec{P_4 A}} \times \frac{\vec{P_6 A}}{\vec{P_6 C}} = 1.$$ Nhân tất cả các đẳng thức này lại, chúng ta rút ra được $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = 1.$$ Từ đó suy ra $M_1$, $M_2$, $M_3$ thẳng hàng, và định lý được chứng minh.




Như vậy, hôm nay một lần nữa, nhờ sử dụng một cách linh hoạt định lý Menelaus chúng ta đã chứng minh xong định lý Pappus. Định lý Pappus nhìn đơn giản nhưng rất đẹp, vì vậy nên blog Vườn Toán đã chọn định lý Pappus để làm hình ảnh biểu tượng của mình.





Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.






Bài tập về nhà.

1. Chúng ta gọi các giao điểm màu tím là các giao điểm Pappus, còn đường thẳng màu tím nối ba giao điểm gọi là đường thẳng Pappus.
Bây giờ nếu chúng ta giữ cố định sáu điểm trên hai đường thẳng, nhưng bằng cách đặt tên $1,2,3,4,5,6$ cho sáu điểm này một cách khác nhau, thì

  • có tất cả bao nhiêu đường thẳng Pappus?
  • có tất cả bao nhiêu giao điểm Pappus?
  • mỗi giao điểm Pappus nằm trên bao nhiêu đường thẳng Pappus?
  • mỗi đường thẳng Pappus chứa bao nhiêu giao điểm Pappus?

2. Thay vì sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ như trên, gọi $X$ là giao điểm của $P_1P_2$ và $P_3P_4$, $Y$ là giao điểm của $P_1P_2$ và $P_5P_6$, $Z$ là giao điểm của $P_3P_4$ và $P_5P_6$. Chứng minh định lý Pappus bằng cách sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $XYZ$.



3. Chứng minh rằng nếu $P_2P_3$ song song với $P_5P_6$, và $P_3P_4$ song song với $P_1P_6$, thì $P_1P_2$ sẽ song song với $P_4P_5$.









Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét