Số phức


Hôm nay chúng ta sẽ học về số phức. Điểm mấu chốt của số phức là chúng ta chấp nhận một số mà chúng ta sẽ ký hiệu là $i$. Số $i$ này rất đặc biệt vì $$i^2 = -1.$$

Như vậy số phức sẽ có dạng $$a + ib$$ trong đó $a$ và $b$ là hai số thực. Nếu $b=0$ thì $a + ib = a$ là số thuần thực, còn nếu $a=0$ thì $a + ib = ib$ là số thuần phức. Sau đây là ví dụ về số phức: $$1+ i, ~~ 2 - 3i, ~~ -\sqrt{3} + 4i, ~~5i - 4, ~~6, ~~i, ~~-3i, ~~4 + 2i, \dots$$


Đầu tiên chúng ta sẽ học về những phép tính đại số cơ bản như cọng, trừ, nhân, chia của số phức.

Phép cọng và trừ thì đơn giản và hiển nhiên như những ví dụ sau $$(3 + 2i) + (4 + i) = 7 + 3i, ~~(3 + 2i) - (4+i) = -1 + i,$$ $$(2 + i) + (3 - 4i) = 5 - 3i, ~~ (2 + i) - (3 - 4i) = -1 + 5i,$$ $$2i + (3i + 1) = 1 + 5 i, ~~ 2i - (3i + 1) = -1 - i,$$

Một cách tổng quát thì $$(a + i b) + (c + i d) = (a+c) + i (b+d) , ~~ (a + i b)- (c + i d) = (a-c) + i (b - d). $$

Phép nhân thì chúng ta cần sử dụng đẳng thức $i^2 = -1$, ví dụ như $$(3 + 2i) (4 + i) = 12 + 3i + 8i + 2 i^2 = 12 + 11 i - 2 = 10 + 11 i,$$ $$(2 + i) ( 3 - 4i) = 6 - 8i + 3i - 4 i^2 = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i,$$ $$2i (3i+1) =  6 i^2 + 2i = -6 + 2i .$$

Một cách tổng quát thì $$(a + i b)(c + i d) = ac + i ad + i bc + i^2 bd = (ac - bd) + i (bc + ad ) .$$

Phép chia: đối với phép chia, chúng ta nhớ lại phép chia của căn thức, ví dụ, nếu chúng ta muốn tính $$\frac{1 + 4 \sqrt{3}}{5 + 2 \sqrt{3}},$$ chúng ta sử dụng hằng đẳng thức $$(5 + 2 \sqrt{3})(5 - 2 \sqrt{3}) = 5^2 - (2 \sqrt{3})^2 = 25 - 12 = 13.$$
Như vậy $$\frac{1 + 4 \sqrt{3}}{5 + 2 \sqrt{3}} = \frac{(1 + 4 \sqrt{3})(5 - 2 \sqrt{3})}{(5 + 2 \sqrt{3})(5 - 2 \sqrt{3})}= \frac{5 - 2 \sqrt{3} + 20 \sqrt{3} - 24}{25 - 12} = \frac{-19 + 18 \sqrt{3}}{13} = -\frac{19}{13} + \frac{18}{13} \sqrt{3}.$$

Tương tự như vậy, đối với phép chia chúng ta sử dụng đẳng thức $$(a + i b)(a - ib ) = a^2 - i^2 b^2 = a^2 + b^2 .$$ Như vậy $$\frac{c + i d}{a + i b} = \frac{(c + i d)(a - ib)}{(a + ib)(a - ib)} = \frac{(ac + bd) + i(ad - bc)}{a^2 + b^2} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + i \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}.$$

Ví dụ $$\frac{3 + 2i}{4 + i} = \frac{(3 + 2i)(4 - i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{12 - 3i + 8 i - 2 i^2}{16 - i^2} = \frac{14 + 5i}{17} = \frac{14}{17} + \frac{5}{17} i,$$ $$\frac{2+i}{3 - 4i} = \frac{(2+i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3+4i)} = \frac{6 + 8i + 3 i + 4 i^2}{9 - 16 i^2} = \frac{2 + 11 i}{25} = \frac{2}{25} + \frac{11}{25} i,$$ $$\frac{2i}{3i + 1} = \frac{2i(1 - 3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{2i - 6 i^2}{1 - 9 i^2} = \frac{6 + 2i}{10} = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i,$$

Số phức liên hợp: ở trên, chúng ta thấy ở trong phần phép chia, chúng ta đã sử dụng hai số phức $a + i b$ và $a - ib$ với nhau bởi vì tích của chúng là một số thực $$(a + i b)(a - ib ) = a^2 - i^2 b^2  = a^2 + b^2.$$

Hai số phức này rất tiện dụng khi dùng với nhau. Chúng ta gọi hai số phức $a + i b$ và $a - ib$ là hai số phức liên hợp.

Chúng ta dùng ký hiệu $\overline{z}$ để chỉ số phức liên hợp của $z$, tức là $$\overline{a + i b} = a - ib, ~~~~\overline{a- ib} = a + ib.$$

Trong trường hợp đặc biệt, số phức liên hợp của $a$ chính là $a$, còn số phức liên hợp của $ib$ là $-ib$.

Trị tuyệt đối: đối với số thực, chúng ta đã biết về trị tuyệt đối $$|5| = 5, ~~~ |-5| = 5.$$

Bây giờ, mở rộng khái niệm này ra đối với số phức, trị tuyệt đối của số phức $z = a + ib$, ký hiệu là $|z|$ được định nghĩa bằng $$|z| = |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Từ đó suy ra $$|z|^2 = a^2 + b^2 = (a + ib)(a - ib) = z ~ \overline{z}.$$

Sau đây là một vài ví dụ $$|3 + 2i| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13},$$ $$|2 - i| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5},$$ $$|3i| = \sqrt{0+9} = 3,$$ $$|2| = \sqrt{4 + 0} = 2.$$

Trong trường hợp đặc biệt, chúng ta có $|5| = 5$, $|-5|=5$ và $|3i| = 3$, $|-3i| = 3$.


Hằng đẳng thức Fibonacci

Trị tuyệt đối có một tính chất quan trọng sau đây $$|u|~|v| = |uv|.$$
Tính chất này tương đương với hằng đẳng thức Fibonacci sau đây $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 .$$

Thật vậy, nếu $u = a + ib$ và $v = c + id$ thì $uv = (ac - bd) + i(ad + bc)$ và $$|u| = \sqrt{a^2 + b^2},$$ $$|v| = \sqrt{c^2 + d^2},$$ $$|uv| = \sqrt{(ac-bd)^2 + (ad + bc)^2}.$$
Như vậy đẳng thức $|u| |v| = |uv|$ trở thành $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 .$$

Nếu sau này các bạn lỡ quên hằng đẳng thức này mà muốn nhớ lại nó, thì các bạn có thể làm các bước sau đây để thiết lập lại hằng đẳng thức.
  • Đầu tiên, viết hai số phức bất kỳ và nhân lại với nhau $$(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc), $$
  • Sau đó, thay dấu cọng thành dấu trừ, $$(a - ib)(c - id) = (ac - bd) - i (ad + bc),$$
  • Cuối cùng, nhân hai đẳng thức lại với nhau $$[(a + ib)(a - ib)] [(c + id)(c - id)] = [(ac - bd) + i (ad + bc)] [(ac - bd) - i (ad + bc)]$$ và suy ra hằng đẳng thức $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 .$$



Hôm nay chúng ta đã học sơ qua về số phức, chúng ta tạm dừng ở đây. Có lẽ các bạn sẽ ngạc nhiên khi biết rằng số phức được dùng trong số học rất nhiều. Kỳ sau chúng ta sẽ học thêm về số phức và một vài ứng dụng nho nhỏ. Sau này khi học về dãy số, chúng ta cũng sẽ dùng đến số phức.

Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.




Bài tập về nhà.

1. Làm các phép cộng, trừ, nhân, chia cho các cặp số sau:
  • $3 + 4i$, $2 + 3i$;
  • $4i$, $2-i$;
  • $7 - i$, $2 + 4i$;
  • $5 - 2i$, $3 + i$;
  • $4 + 3i$, $-i$.

2. Tìm số phức liên hợp cho các số sau: $5 + 3i$, $4-2i$, $1 + i$, $-4$, $-1 + 2i$, $5i$, $-4i$.


3. Tính giá trị tuyệt đối cho các số phức sau: $2 + 3i$, $2-3i$, $4 + i$, $4-i$, $5 + 2i$, $5-2i$, $6$, $-6$, $2 - i$, $2 + i$, $4i$, $-4i$.


4. Tính $$i^{3}, ~~~~i^{4}, ~~~~i^5, ~~~~i^6, \dots.$$
Tìm công thức tổng quát cho $i^n$.

5. Chứng minh rằng $$\left| \frac{u}{v} \right| = \frac{|u|}{|v|}.$$

6. Chứng minh rằng $$|u + v| \leq |u| + |v|.$$

7. Chứng minh rằng tồn tại $\phi$ để $$z = |z| (\cos{\phi} + i ~ \sin{\phi}).$$

8. Dùng quy nạp để chứng minh $$(\cos{\phi} + i ~ \sin{\phi})^n = \cos{(n ~\phi)} + i ~ \sin{(n ~\phi)}.$$

9. Chứng minh rằng $$(\cos{\alpha} + i ~\sin{\alpha})(\cos{\beta} + i ~\sin{\beta}) = \cos{(\alpha + \beta) + i ~\sin{(\alpha + \beta)}} .$$

10. Chứng minh rằng tồn tại hai số tự nhiên $a$ và $b$ thoã mãn $$a^2 + b^2 = 5^{2013}.$$













Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét