Hằng đẳng thức Pitago


Hôm nay chúng ta sẽ mở đầu một chuổi bài về hằng đẳng thức. Hằng đẳng thức đầu tiên mà chúng ta tìm hiểu là hằng đẳng thức Pitago. $$ a^2 + b^2 = c^2 $$




Trong toán học, định lý nổi tiếng nhất có lẽ là định lý hình học Pitago. Hầu như ai đi học cũng nhớ về định lý này.

Định lý Pitago nói rằng trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.


Định lý Pitago: $a^2 + b^2 = c^2$.


trường, chúng ta học định lý Pitago hình như vào khoảng lớp 8. Sau khi giới thiệu định lý Pitago, Thầy Cô thường cho chúng ta ví dụ sau:


Và vì vậy ai đi học hầu như cũng nhớ về hằng đẳng thức Pitago $$ 3^2 + 4^2 = 5^2 $$ $$ 9 + 16 = 25 $$

Vì bài học về Pitago mà tôi và người bạn ngồi cùng bàn đã chơi một trò chơi, đó là trong vòng 5 phút, phải viết ra giấy những bộ số Pitago như
$$3^2 + 4^2 = 5^2$$
ai viết được nhiều nhất sẽ là người thắng cuộc.

Cả hai chúng tôi đều kết thúc rất nhanh, chưa đến 5 phút, và nhìn nhau cười như chắc ăn là mình sẽ là người thắng cuộc.

Khi mở 2 tờ giấy ra, cả hai đều cười to, vì cả hai đều có chung một ý tưởng, đó là $$30^2 + 40^2 = 50^2$$ $$300^2 + 400^2 = 500^2$$ $$3000^2 + 4000^2 = 5000^2$$ $$\vdots$$

Và như vậy chúng tôi đã thay đổi luật chơi, lần này, không được viết hằng đẳng thức dạng $$ (3n)^2 + (4n)^2 = (5n)^2 $$ nữa.

Với luật chơi mới này, tìm ra bộ số Pitago không còn đơn giản nữa.

Chúng ta tạm dừng 5 phút ở đây và sau 5 phút bạn hãy cho biết bạn đã tìm được bao nhiêu hằng đẳng thức Pitago nhé!









Bây giờ quay trở lại với hằng đẳng thức Pitago $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ làm sao chúng ta tìm ra được $a$, $b$ và $c$ ?!

Vì $$3^2 + 4^2 = 5^2$$ đầu tiên chúng ta có thể thử xem $4^2 + 5^2$ có bằng $6^2$ không? $$ 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 $$ $$ 6^2 = 36 $$ Như vậy $$ 4^2 + 5^2 \neq 6^2 $$ và 4, 5, 6 không phải là bộ số Pitago. Tuy vậy chúng ta đừng nản chí.

Chúng ta cho $b = n$ và $c = n+1$ rồi xem thử $a$ bằng bao nhiêu.

Thay vào hằng đẳng thức Pitago, chúng ta có

$$
a^2 + n^2 = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
$$ vậy $$ a^2 = 2n + 1 $$
À, vậy thì $a$ phải là số lẻ, $a = 2k + 1$, chúng ta có
$$
a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2n +1
$$

Vậy $n = 2k^2 + 2k$.

Chúng ta đã tìm ra công thức tổng quát cho $a$, $b$, $c$, đó là $$ a = 2k + 1 $$ $$ b = n = 2k^2 + 2k $$ $$ c = n+1 = 2k^2 + 2k + 1 $$ và hằng đẳng thức Pitago là $$ (2k + 1)^2 + (2k^2 + 2k)^2 = (2k^2 + 2k + 1)^2 $$
Với $k = 1$ chúng ta có được hằng đẳng thức ban đầu $$ 3^2 + 4^2 = 5^2 $$ Với $k=2$, chúng ta có $$ 5^2 + 12^2 = 13^2 $$ $$ 25 + 144 = 169 $$ Với $k=3$, chúng ta có $$ 7^2 + 24^2 = 25^2 $$ $$ 49 + 576 = 625 $$
Thật là tuyệt vời !!!


Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau chúng ta sẽ học về các hằng đẳng thức khác.

Các bạn có thể đọc về cách tìm tất cả các bộ số Pitago ở đây. Định lý hình học Pitago được chứng minh ở đây, hoặc ở đây.

Hẹn gặp lại các bạn.



Bài tập về nhà

1. Tìm cách để tạo ra các hằng đẳng thức Pitago khác.

2. Vào trang google.com để tìm kiếm và đọc các bài viết về định lý Pitago.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét