Dựng hình đa giác đều

Có hai bài toán dựng hình rất nổi tiếng được biết đến từ thời xa xưa nhưng mãi đến thế kỷ 18-19 mới có thể giải quyết được. Đó là bài toán dựng hình đa giác đều và bài toán chia ba một góc. Mặc dù nghe có vẻ đơn giản vậy, nhưng để giải quyết được nó, các nhà toán học phải sử dụng những công cụ rất hiện đại của số học và đại số. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét bài toán đầu tiên, đó là bài toán dựng hình đa giác đều.

Bài toán dựng hình đa giác đều. Bằng thước và compa, hãy dựng một đa giác đều có $n$ cạnh.

Đầu tiên, chúng ta thấy rằng tam giác đều và hình vuông là hai hình dễ dựng nhất. Chúng ta sẽ gọi một đa giác có $n$ cạnh là một $n$-giác và có nhận xét sau đây

Nhận xét: Nếu bằng thước và compa chúng ta có thể dựng được một $n$-giác đều thì chúng ta cũng có thể dựng được $2n$-giác đều.

Vì sao vậy? Đó là vì nếu chúng ta dựng được $n$-giác đều, thì bằng cách dựng đường tròn ngoại tiếp nó, rồi dựng đường trung trực của mỗi cạnh để chia đôi mỗi cung tròn, chúng ta sẽ có được $2n$-giác đều!

Bằng nhận xét đơn giản trên, từ hình $3$-giác đều, chúng ta sẽ dựng được $6$-giác đều, $12$-giác đều, $24$-giác đều, v.v...

tam giác $\rightarrow$ lục giác $\rightarrow$ 12-giác

Và từ "nhị giác đều", chúng ta sẽ dựng được $4$-giác đều, $8$-giác đều, $16$-giác đều, v.v...

nhị giác $\rightarrow$ hình vuông $\rightarrow$ bát giác

Như vậy, bài toán đã được đơn giản hoá về trường hợp $n$ là số lẻ. Chẳng hạn, muốn dựng đa giác đều $68$ cạnh, chúng ta chỉ cần tìm cách dựng đa giác đều $17$ cạnh. Bởi vì $68 = 17 \times 2 \times 2$, nên từ $17$-giác, chúng ta sẽ dựng được $34$-giác, rồi từ $34$-giác chúng ta dựng được $68$-giác!

Bài toán. Tìm điều kiện cần và đủ của số lẻ $n$ để đa giác đều $n$ cạnh có thể dựng được bằng thước và compa.

Hoá ra đây là một bài toán cực kỳ khó!

Đã từ lâu, chúng ta biết được cách dựng ngũ giác đều. Chẳng hạn từ thời Hy Lạp cổ đại, trong bộ sách "Cơ sở Toán học" nổi tiếng, Euclid đã trình bày một cách dựng hình ngũ giác đều bằng thước và compa. Vậy nhưng qua gần hai ngàn năm, không ai tìm ra được cách dựng $7$-giác đều, $9$-giác đều, $11$-giác đều, ..., mọi nỗ lực dường như rơi vào bế tắc.

Lý do chẳng phải chúng ta không tìm ra được cách dựng, mà là không tồn tại cách dựng!

Người đầu tiên tìm được bước đột phá cho bài toán là nhà toán học Gauss. Gauss được mệnh danh là "ông hoàng toán học". Quyển sách "Nghiên cứu Số học" (Disquisitiones Arithmeticae) mà ông xuất bản năm 24 tuổi hiện vẫn là sách gối đầu giường cho những người học toán.

Năm ông 19 tuổi, Gauss tìm ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh. Người ta kể lại rằng chính phát minh này đã thúc đẩy Gauss say mê đi vào nghiệp làm toán thay vì đi học triết học. Ông thích thú với phát hiện này tới mức ông muốn sau này một đa giác đều 17 cạnh được khắc lên trên ngôi mộ của mình. Không hiểu vì lý do gì, trên mộ của Gauss không có hình đa giác 17 cạnh, nhưng dưới tượng đài của Gauss tại quê nhà Brunswick có một hình ngôi sao 17 cạnh!

Gauss đã chứng minh được định lý tuyệt vời sau đây: 

Định lý Gauss. Nếu $n = p_1 \dots p_t$ trong đó $p_1$, ..., $p_t$ là các số nguyên tố Fermat phân biệt thì đa giác đều $n$ cạnh có thể dựng được bằng thước và compa.

Sau này vào năm 1837, nhà toán học người Pháp, Wantzel, chứng minh phần ngược lại, đó là, với một số lẻ $n$, nếu đa giác đều $n$ cạnh có thể dựng được bằng thước và compa thì $n$ bắt buộc phải có dạng $n = p_1 \dots p_t$ như trên.

Vậy số nguyên tố Fermat $p_1$, ..., $p_t$ mà Gauss nói đến là số nguyên tố gì?


Số nguyên tố Fermat

Có lẽ các bạn ai cũng đã từng nghe đến Bài toán Fermat phải không?!

Bài toán Fermat. Chứng minh rằng với mọi $n \geq 3$, phương trình sau không có nghiệm khác không $$x^n + y^n = z^n.$$

Bài toán Fermat đã từng làm điên đầu những nhà toán học cỡ hàng đầu thế giới cho đến những em học sinh phổ thông. Có lẽ vì bài toán này phát biểu quá đơn giản và quá đẹp. Nhưng có lẽ lý do chính là vì nó liên quan đến một "bí mật toán học". Fermat viết bài toán này bên lề một cuốn sách số học rồi ông ghi chú rằng ông đã tìm ra được một lời giải tuyệt đẹp nhưng lề sách "không đủ chổ" để ông viết ra! Và vì vậy ai cũng muốn làm người đầu tiên "bật mí" cái "bí mật toán học" này!

Năm 1994 thì nhà toán học người Anh, Andrew Wiles, đã giải quyết hoàn toàn được bài toán Fermat. Nhưng lời giải của Andrew Wiles phải dùng những công cụ hiện đại nhất của toán học. Vậy coi như cái bí mật của Fermat vẫn còn là bí mật!

Fermat thật ra không phải là nhà toán học chuyên nghiệp. Ông là một luật sư và có lẽ ông chỉ làm toán cho vui. Ông thường viết thư trao đổi với những nhà toán học khác về những vấn đề toán học. "Chín mươi chín phần trăm" những dự đoán của Fermat là đúng, nhưng có một trường hợp, Fermat đã sai! Đó là về số nguyên tố Fermat mà chúng ta sắp nói đến đây.

Vì số nguyên tố đóng vai trò như những viên gạch cơ bản dùng để xây dựng nên toàn bộ các số tự nhiên, nên các nhà toán học muốn tìm ra những công thức, định lý cho số nguyên tố. Fermat dự đoán rằng các số có dạng $$F_n = 2^{2^n}+1$$ là các số nguyên tố. Nếu đúng như vậy thì đây quả thật là một công thức rất đẹp cho số nguyên tố. Nhưng rất tiếc là Fermat đã nhầm.

• $n=0$, $F_0 = 2^{2^0}+1 = 2^1 + 1 = 3$ là số nguyên tố,
• $n=1$, $F_1 = 2^{2^1}+1 = 2^2 + 1 = 5$ là số nguyên tố,
• $n=2$, $F_2 = 2^{2^2}+1 = 2^4 + 1 = 17$ là số nguyên tố,
• $n=3$, $F_3 = 2^{2^3}+1 = 2^8 + 1 = 257$ là số nguyên tố,
• $n=4$, $F_4 = 2^{2^4}+1 = 2^{16} + 1 = 65537$ là số nguyên tố,
• $n=5$, $F_5 = 2^{2^5}+1 = 2^{32} + 1 = 4294967297$ là hợp số!

Nhà toán học Euler đã chỉ ra rằng $F_5 = 2^{2^5}+1$ là một hợp số $$F_5 = 2^{2^5}+1 = 641 \times 6700417.$$

Chúng ta có định nghĩa sau đây.

Số nguyên tố Fermat. Một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Fermat nếu nó có dạng $$F_n = 2^{2^n}+1.$$

Định lý Gauss-Wantzel

Bây giờ quay trở lại với bài toán dựng hình đa giác đều. Câu trả lời cho bài toán là định lý sau đây

Định lý Gauss-Wantzel. Với một số lẻ $n$, đa giác đều $n$ cạnh có thể dựng được bằng thước và compa khi và chỉ khi $n = p_1 \dots p_t$ trong đó $p_1$, ..., $p_t$ là các số nguyên tố Fermat phân biệt.

Vì $3$, $5$, $17$, $257$, $65537$ là các số nguyên tố Fermat, nên theo định lý trên thì các hình $3$-giác đều, $5$-giác đều, $17$-giác đều, $257$-giác đều, $65537$-giác đều là dựng được. Ngoài ra,

• $3 \times 5 = 15$ nên $15$-giác đều là dựng được
• $3 \times 17 = 51$ nên $51$-giác đều là dựng được, v.v...

Tuy nhiên,

• $7$-giác đều không dựng được,
• $9 = 3 \times 3$ nên $9$-giác đều không dựng được
• $11$-giác đều không dựng được,
• $13$-giác đều không dựng được, v.v...

Với các đa giác dựng được thì chúng được dựng như thế nào. Chẳng hạn làm sao để dựng đa giác đều có 15 cạnh hay 17 cạnh? Với những đa giác đều không dựng được thì liệu có cách nào dựng được chúng một cách xấp xỉ với sai số nhỏ hay không?

Có rất nhiều câu hỏi thú vị cần được trả lời. Tuy nhiên chúng ta để dành lại cho những kỳ sau. Chúng ta tạm dừng ở đây. Hẹn gặp lại các bạn.

Bài tập về nhà.

Với các bài toán sau đây, một số đã có lời giải, một số vẫn chưa có lời giải. Nhưng chúng ta sẽ không tiết lộ ở đây, để khuyến khích cho các bạn giải toán!

1. Chứng minh rằng nếu $2^a + 1$ là một số nguyên tố thì $a=0$ hoặc $a=2^n$.

2. Chứng minh rằng có vô hạng các số nguyên tố có dạng $2^a + 1$.

3. Chứng minh rằng có vô hạng các số hợp số có dạng $2^a + 1$.

4. Chứng minh rằng với mọi $n > 1$, số Fermat $F_n = 2^{2^n}+1$ luôn có chữ số tận cùng là 7.

5. Chứng minh rằng có thể tìm được vô hạn các số $n$ để số Fermat $F_n = 2^{2^n}+1$ là hợp số.

6. Với mọi $n > 1$, số Fermat $F_n = 2^{2^n}+1$ không thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố.

7. Tìm tất cả các bộ số $n$, $m$ để $F_n F_m$ là một số chính phương.

8. Chứng minh rằng với mọi $n$, số Fermat $F_n = 2^{2^n}+1$ không phải là số lập phương.

9. Chứng minh rằng $F_{2014} = 2^{2^{2014}}+1$ là một hợp số.

10. Vào trang google.com để tìm kiếm các bài viết về cách dựng đa giác đều 17 cạnh của Gauss. (dùng từ khoá: Gauss, dựng hình, 17 cạnh,...)