modulo - Phần 3

Kỳ này, chúng ta sẽ xem thêm một vài ví dụ về modulo. 

Ví dụ 1: Chứng minh rằng $11 + 2011^{2012} + 2012^{2013}$ chia hết cho 13.




Lời giải: Chúng ta có $2011 = 9 \pmod{13}$. Vì vậy $2011^{2012} = 9^{2012} \pmod{13}$.

Chúng ta có
$$9^2 = (-4)^2 = 16 = 3 \pmod{13},$$
$$9^3 = 9 \times 3 = 27 = 1 \pmod{13}.$$

Vì vậy muốn biết $9^n$ bằng bao nhiêu modulo 13 thì chúng ta phải lấy số mũ $n$ chia cho 3. Ví dụ như $n = 3 q + r$ (với $r$ = 0, 1, hoặc 2) thì
$$9^n = 9^{3q + r} = (9^3)^q \times 9^r = 1^q \times 9^r = 9^r \pmod{13}$$

Ở đây, chúng ta cần tìm $9^{2012} \pmod{13}$, do đó chúng ta lấy số mũ 2012 rồi chia nó cho 3. Chúng ta có $2012 = 3 \times 670 + 2$. Do đó
$$9^{2012} = 9^{3 \times 670 + 2} = (9^3)^{670} \times 9^2 = 1^{670} \times 3 = 3 \pmod{13}$$

Làm tương tự, $2012 = 10 \pmod{13}$, do đó $2012^{2013} = 10^{2013} \pmod{13}$.

Chúng ta có
$$10^2 = (-3)^2 = 9 \pmod{13},$$
$$10^3 = 10 \times 9 = (-3) \times (-4) = 12 = -1 \pmod{13}.$$

Muốn biết $10^n$ bằng bao nhiêu modulo 13 thì chúng ta phải lấy số mũ $n$ chia cho 3. Ví dụ như $n = 3 q + r$ (với $r$ = 0, 1, hoặc 2) thì
$$10^n = 10^{3q + r} = (10^3)^q \times 10^r = (-1)^q \times 10^r   \pmod{13}$$

Ở đây, chúng ta cần tìm $10^{2013} \pmod{13}$, do đó chúng ta lấy số mũ 2013 rồi chia nó cho 3. Chúng ta có $2013 = 3 \times 671$, do đó
$$10^{2013} = 10^{3 \times 671} = (10^3)^{671} = (-1)^{671} = -1 \pmod{13}.$$

Tóm lại
$$11 + 2011^{2012} + 2012^{2013} = 11 + 9^{2012} + 10^{2013} = 11 + 3 + (-1) = 0 \pmod{13}. \blacksquare$$


Bây giờ chúng ta tiếp tục xem các ví dụ khác.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $2012^n + n^{2012}$ chia hết cho 3.

Lời giải: Chúng ta có $2012 = 2= -1 \pmod{3}$, do đó $2012^n = (-1)^n \pmod{3}$. Vì vậy nếu $2012^n + n^{2012}$ chia hết cho 3 thì
$$(-1)^n + n^{2012} = 0 \pmod{3}.$$

Chúng ta có $n$ = 0, 1, hoặc 2 $\pmod{3}$. Hay nói cách khác $n$ = $0$, $1$, hoặc $-1\pmod{3}$.

Trường hợp 1: Nếu $n = 0 \pmod{3}$ thì $(-1)^n + n^{2012} = (-1)^n \pmod{3}$. Do đó trường hợp này không thõa mãn.

Trường hợp 2: Nếu $n = \pm 1 \pmod{3}$ thì $(-1)^n + n^{2012} = (-1)^n + (\pm 1)^{2012}= (-1)^n + 1 \pmod{3}$. Do đó để $(-1)^n + 1 = 0 \pmod{3}$ thì $n$ phải là số lẻ.

Tóm lại để $2012^n + n^{2012}$ chia hết cho 3 thì $n$ phải thõa mãn hai điều kiện, đó là $n \neq 0 \pmod{3}$ và $n = 1 \pmod{2}$.

Vì bội số chung của 3 và 2 là 6. Chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp của $n \pmod{6}$.

Nếu $n = 0,2,4 \pmod{6}$ thì $n = 0 \pmod{2}$ - không thõa mãn.

Nếu $n = 0,3 \pmod{6}$ thì $n =0 \pmod{3}$ - không thõa mãn.

Vậy chỉ còn lại trường hợp $n = 1,5 \pmod{6}$.

Tóm lại để $2012^n + n^{2012}$ chia hết cho 3 thì $n = \pm 1 \pmod{6}$. $\blacksquare$



Ví dụ 3: Số chính phương là số có dạng $n^2$ ví dụ như 0, 1, 4, 9, 16,...
Tìm tất cả các số chính phương trong dãy số sau: 7, 77, 777, 7777,...

Lời giải: Chữ số tận cùng của một số chính phương chỉ có thể là 0, 1, 4, 5, 6, hoặc 9, vì vậy trong dãy số trên không tồn tại số chính phương. $\blacksquare$


Chúng ta thấy rằng lời giải trên thật đơn giản và không có nói đến modulo. Tuy nhiên bản chất lời giải này là dùng modulo. Thật vậy, khi nói đến chữ số tận cùng của một số có nghĩa là chúng ta đang lấy $\pmod{10}$ của số đó. Như vậy, một số $n$ bất kỳ sẽ bằng 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, hoặc 9 $\pmod{10}$, vì vậy $n^2 \pmod{10}$ chỉ có thể là một trong các giá trị sau: $0^2 = 0$, $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$, $4^2 = 16 = 6$, $5^2 = 25 = 5$, $6^2 = 36 = 6$, $7^2 = 49 = 9$, $8^2 = 64 = 4$, $9^2 = 81 = 1 \pmod{10}$. Như vậy số chính phương $n^2$ chỉ có thể là bằng 0, 1, 4, 5, 6, hoặc 9 $\pmod{10}$. Và vì tất cả các số trong dãy số 7, 77, 777, 7777,... bằng $7 \pmod{10}$, do đó không có số nào là số chính phương.


Như đã thấy ở trên, muốn tìm $n^2 \pmod{10}$, chúng ta lý luận rằng một số $n$ bất kỳ sẽ bằng 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, hoặc 9 $\pmod{10}$. Thật ra chúng ta có thể lý luận ngắn gọn hơn như sau:  một số $n$ bất kỳ sẽ bằng $0$, $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 4$, hoặc 5 $\pmod{10}$. Do đó $n^2$ sẽ bằng $0^2=0$, $(\pm 1)^2=1$, $(\pm 2)^2=4$, $(\pm 3)^2=9$, $(\pm 4)^2=16=6$, $5^2=25=5 \pmod{10}$. Chúng ta thấy rằng đôi lúc sử dụng số âm trong modulo sẽ rất tiện lợi.




Bài tập về nhà: Tìm tất cả các số chính phương trong dãy số sau: 1, 11, 111, 1111,...


Hẹn gặp lại các bạn trong "modulo - Phần 4".