Kỳ trước chúng ta đã học cách tìm công thức tính tổng các luỹ thừa $$S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k.$$
Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các tính chất chia hết của $S_k(n)$. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_k(p-1) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + (p-1)^k = 0 \pmod{p}.$$
Đồng thời chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về $$S_{-k}(n) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{n^k}.$$
Có một định lý trong số học liên quan đến tính chia hết của $S_{-k}(n)$, đó là Định lý Wolstenholme.
Định lý Wolstenholme. Nếu $p$ là một số nguyên tố $>3$ thì $$S_{-1}(p-1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{p-1} ~=_{Q} ~0 \pmod{p^2} $$ và $$S_{-2}(p-1) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(p-1)^2} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Chúng ta sẽ chứng minh một tính chất tổng quát hơn, đó là nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_{-k}(p-1) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{(p-1)^k} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
