Chứng minh lại định lý Wilson

Kỳ trước chúng ta đã học về modulo cho số hữu tỷ. Để miêu tả ứng dụng của nó, hôm nay chúng ta sẽ chứng minh lại Định lý Wilson bằng cách sử dụng ngôn ngữ modulo.

Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này được phát biểu như sau.

Định lý Wilson. Nếu $p$ là một số nguyên tố thì $$(p-1)! = -1 \pmod{p}.$$

Modulo cho số hữu tỷ II

Ở kỳ trước, chúng ta đã giới thiệu về khái niệm modulo cho số hữu tỷ. Hôm nay, chúng ta tiếp tục học về khái niệm này.

Đầu tiên, chúng ta ôn lại một vài ví dụ và định nghĩa: $$\frac{14}{5} =_{Q} ~0 \pmod{7}, $$ $$ \frac{16}{55} =_{Q} ~\frac{9}{55} =_{Q} ~\frac{2}{55} \pmod{7},$$ $$\frac{1}{4} =_{Q} ~\frac{8}{4} =_{Q} ~2 \pmod{7}, \dots$$

Định nghĩa. Cho $n$ là một số nguyên, và $\alpha$, $\beta$ là hai số hữu tỷ. Chúng ta nói rằng $\alpha$ và $\beta$ bằng nhau modulo $n$, và viết $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên $k$ nguyên tố cùng nhau với $n$ sao cho $k(\alpha - \beta)$ là một số nguyên và $$k(\alpha - \beta) = 0 \pmod{n}.$$

Modulo cho số hữu tỷ

Mấy tháng trước, chúng ta đã đọc một loạt bài về modulo. Đó là modulo cho số nguyên. Xin nhắc lại định nghĩa như sau.

Định nghĩa. Cho $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Chúng ta nói rằng $a$ và $b$ bằng nhau modulo $n$, và viết $$a = b \pmod{n}$$ khi và chỉ khi $a-b$ là một bội số của $n$.

Ví dụ như $$8 = 0 \pmod{4},$$ $$9 = 1 \pmod{4},$$ $$-5 = -1 = 3 = 7 \pmod{4}, \dots $$

Hôm nay, xin giới thiệu với các bạn một khái niệm mới về modulo cho số hữu tỷ. Trước khi đi vào chi tiết của định nghĩa, chúng ta sẽ liệt kê một vài ví dụ cho các bạn thấy ngay được modulo số hữu tỷ là như thế nào.

Ví dụ về modulo cho số hữu tỷ: $$\frac{8}{5} =_{Q} ~0 \pmod{4}, $$ $$ -\frac{12}{55} =_{Q} ~0 \pmod{4},$$ $$\frac{29}{15} =_{Q} ~\frac{25}{15} = \frac{5}{3} \pmod{4}$$

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Kỳ trước chúng ta đã học về hai công thức nội suy cho đa thức, đó là công thức nội suy Newton và công thức nội suy Lagrange. Cả hai công thức này đều có thể dùng để chứng minh Định lý Wilson.

Ở đây, chúng ta chỉ trình bày một cách chứng minh định lý Wilson sử dụng công thức nội suy Newton. Xin dành cho các bạn phần còn lại, đó là chứng minh Định lý Wilson sử dụng công thức nội suy Lagrange.

Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này nói rằng nếu $p$ là một số nguyên tố thì số $(p−1)!+1$ sẽ chia hết cho $p$.

Đa thức nội suy Lagrange

Hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục học về công thức nội suy cho đa thức. Kỳ trước, chúng ta đã học về công thức nội suy Newton, hôm nay chúng ta học thêm một công thức nội suy khác gọi là công thức nội suy Lagrange.

Chúng ta sẽ dùng ví dụ sau đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$

Chúng ta thấy rằng $P(x)$ là một đa thức bậc hai và chúng ta có thể tính được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$

Bài toán đa thức nội suy là bài toán ngược, tức là, cho biết $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, và $P(3) = 12$, tìm lại đa thức $P(x)$.

Đa thức nội suy Newton

Hôm nay chúng ta sẽ học về công thức nội suy cho đa thức.

Giả sử chúng ta có đa thức sau đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$

Cho $x$ một vài giá trị, chúng ta tính được giá trị của $P(x)$ như sau $$P(1) = 2 - 3 + 3 = 2,$$ $$P(2) = 8 - 6 + 3 = 5,$$ $$P(3) = 18 - 9 + 3 = 12, \dots$$

Câu hỏi đặt ra là, nếu ngược lại, chúng ta biết được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12,$$ liệu chúng ta có thể tìm lại được đa thức $P(x)$ hay không?

Câu trả lời là được. Công thức đa thức nội suy giúp cho chúng ta tìm lại được đa thức $P(x)$. Hôm nay chúng ta sẽ học về công thức nội suy Newton, kỳ sau chúng ta sẽ học về công thức nội suy Lagrange.

Quy nạp III

Hôm nay chúng ta giải tiếp một vài bài toán bằng phương pháp quy nạp.


Bài toán 7. Để ý rằng $$\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$$
Chứng minh rằng có thể viết $\cos n\alpha$ thành một đa thức của biến $\cos \alpha$.