Thuật toán dựng hình


Kỳ trước, chúng ta đã học về tam giác đồng dạngđịnh lý đường cao tam giác vuông. Hôm nay, tiếp tục du ngoạn trong khu vườn hình học, chúng ta sẽ đi tìm câu trả lời cho bài toán sau đây:
Cho trước một đoạn thẳng có độ dài $r$. Bằng thước và compa, chúng ta có thể dựng được những đoạn thẳng có độ dài bằng bao nhiêu?

Dựng đa giác đều 15 cạnh


Hôm nay để thoã mãn sự tò mò của các bạn, chúng ta sẽ học về cách dựng hình đa giác đều 15 cạnh. Chúng ta sẽ thấy rằng có một sự liên hệ thú vị giữa bài toán dựng hình này với câu đố mẹo về đo lường mà chúng ta đã học ở bài trước.


Câu đố mẹo về đo lường



Hôm nay chúng ta sẽ xem xét một câu đố mẹo về đo lường. Câu đố này hỏi làm cách nào để có thể đong ra được 1 lít nước bằng cách dùng hai bình thể tích 3 lít5 lít.

Chúng ta sẽ phân tích để thấy rằng câu đố này thật ra liên quan đến việc giải phương trình nghiệm nguyên của số học.


Dựng hình đa giác đều


Có hai bài toán dựng hình rất nổi tiếng được biết đến từ thời xa xưa nhưng mãi đến thế kỷ 18-19 mới có thể giải quyết được. Đó là bài toán dựng hình đa giác đều và bài toán chia ba một góc. Mặc dù nghe có vẻ đơn giản vậy, nhưng để giải quyết được nó, các nhà toán học phải sử dụng những công cụ rất hiện đại của số học và đại số. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét bài toán đầu tiên, đó là bài toán dựng hình đa giác đều.
Bài toán dựng hình đa giác đều. Bằng thước và compa, hãy dựng một đa giác đều có $n$ cạnh.

Công thức lượng giác cho góc bội

Kỳ trước chúng ta đã học về cách dựng hình ngũ giác đều bằng thước và compa dựa vào công thức lượng giác $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$
Để tìm ra công thức của $\cos{\frac{\pi}{5}}$ như trên, chúng ta xuất phát từ đẳng thức $\cos{\frac{2 \pi}{5}} = -\cos{\frac{3 \pi}{5}}$ rồi dùng công thức lượng giác cho góc gấp đôi và góc gấp ba: $$\cos{2 x} = 2 \cos^2{x} - 1,$$ $$\cos{3 x} = 4 \cos^3{x} - 3 \cos{x}$$ để tạo ra một phương trình bậc ba cho $\cos{\frac{\pi}{5}}$.

Nhân tiện nói về công thức lượng giác, hôm nay chúng ta sẽ học một ứng dụng của số phức bằng cách dùng công thức Moivre của số phức để tìm ra công thức lượng giác cho góc bội: $\sin{nx}$, $\cos{nx}$, $\tan{nx}$$\cot{nx}$.


Dựng hình ngũ giác đều


Hôm nay chúng ta sẽ xem xét một cách dựng hình ngũ giác đều bằng thước và compa dựa vào công thức lượng giác sau đây $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$